Проективная геометрия: всё становится понятнее

01:30 Введение в алгебраическую геометрию
02:30 Проективная геометрия и точки на бесконечности
06:15 Гармонические четвёрки
09:06 Проективизация: введение
11:41 Соответствие между точками и прямыми
13:30 Однородные координаты на плоскости
15:14 Проективизация: определение
18:44 Теорема Безу
20:25 Приложения

(источник)

Как выучить любой язык

00:00 Понятный входной материал (comprehensible input)
00:52 Изучение vs освоение языка (learning vs acquisition)
02:09 Ввод vs вывод (input vs output)
02:50 Метод Стивена Крашена
03:30 Понятность и увлекательность
04:42 Интенсивное vs экстенсивное обучение
05:45 Где брать материалы

(источник)

Почему "вероятность 0" не означает "невозможно"

00:41 Парадокс
02:24 Практическое использование
04:20 Плотность вероятностей
05:02 Функция плотности
06:02 Теория меры
09:12 Заключение

(источник)

Что лучше: когда у продавца более высокий рейтинг или больше отзывов?

00:28 Интуитивное объяснение
01:39 Правило наследования Лапласа
03:00 Основная модель
06:21 Биномиальное распределение
09:04 График вероятности
10:56 Вероятность успеха
11:36 Максимизация вероятности

(источник)

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса

00:19 Симметричность
01:15 Приложения
01:45 Распространенное заблуждение
02:38 Независимость событий
02:55 Геймифицированные примеры

(источник)

Три уровня понимания формулы Байеса

0:00 Думай медленно, решай быстро
4:09 Формулировка
10:13 Интуитивное понимание
13:35 Распространённая ошибка

(источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады

01:00 Формулировка
02:00 Двумерный аналог
03:04 Вероятность попадания на дугу
04:29 Перенос в 3D
05:24 Интегрирование
07:38 Изящное решение
08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра

(источник)

Наглядная теория гомологий

01:50 Симплициальные и клеточные комплексы
08:05 Ориентация в 2D и в 3D
21:32 Группа k-мерных цепей
24:08 Оператор взятия границы
29:27 Группа k-мерных циклов
47:22 Группа k-мерных границ
54:42 Группа k-мерных гомологий
57:13 Пример: гомологии сферы
01:10:49 Упражнения и задачи

00:00 Панорамный вид
08:50 Пример: гомологии бутылки Клейна
19:14 Больше интуиции
24:05 Гомологичность
26:16 Важнейшие принципы гомологий
28:03 Гомоморфизм прямого образа (пушфорвард)
36:36 Точная последовательность пары
52:12 Относительные гомологии и связывающий гомоморфизм
59:43 Последовательность Майера-Вьеториса

00:00 Панорамный вид
10:00 Геометрический смысл последовательности Майера-Вьеториса
19:38 Пример: надстройка сдвигает гомологии
32:47 Вывод последовательности М-В из точ. посл. пары
38:32 Когомологии
42:30 Кограничный оператор
43:48 Скалярное произведение на пространстве k-цепей
46:10 Разъяснение абстракции
52:26 Группы k-мерных коциклов и кограниц
55:23 Группа k-мерных когомологий
59:58 Двойственность Пуанкаре
01:07:46 Гомоморфизм обратного образа (пулбэк)

(источник)

Векторные поля на поверхностях

00:00 Зачем и кому нужны векторные поля
17:31 Траектории векторных полей
21:00 Фундаментальные задачи векторного анализа
24:50 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
28:17 Отображение эволюции (отображение фазового потока)
32:13 Степень непрерывного отображения между окружностями
38:10 Число оборотов векторного поля вдоль кривой
49:48 Лемма об сохранении числа оборотов при гомотопии кривой
54:16 Приложение: теорема Брауэра о неподвижной точке
58:00 Приложение: основная теорема алгебры
01:08:56 Индекс изолированного нуля
01:12:40 Векторные поля в трёхмерном пространстве
01:14:19 Степень непрерывного отображения между двумерными сферами
01:19:31 Это и есть наглядная топология
01:21:28 Векторные поля в электродинамике
01:28:29 Диполи, квадруполи, гексаполи, октуполи
01:36:01 Свойство аддитивности чисел оборотов
01:49:59 Векторные поля, заданные полигональным разбиением (триангуляцией) поверхности
01:47:52 Формула Эйлера—Пуанкаре (эйлерова характеристика)
01:52:48 Векторные поля на трёхмерных многообразиях
01:55:42 Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом
02:01:05 Теория Морса, гладкая и дискретная
02:02:49 Гомотопия, сокращающая два нуля противоположных индексов
02:04:11 Градиент как направление наискорейшего роста функции
02:09:32 Географическая версия формулы Эйлера—Пуанкаре

02:12:18 Напоминание
02:24:11 Теорема Эйлера—Пуанкаре—Хопфа
02:33:33 Доказательство
02:56:38 Векторные поля как сечения касательного расслоения
03:04:18 Расслоения со слоем окружность их числа Эйлера-Черна
03:23:05 Теорема о причёсывании ежа
03:34:05 Ротор и дивергенция
03:57:47 Симулятор векторных полей (ссылка)
04:00:28 Линейные векторные поля
04:16:18 Экспонента как эволюция линейного поля
04:24:18 Градиентные векторные поля
04:38:07 Точные (потенциальные) и коточные векторные поля
04:39:08 Замкнутые (безвихревые) и козамкнутые (бездивергентные) векторные поля
04:42:59 Разложение Гельмгольца—Ходжа—де Рама
04:57:49 Гармонические векторные поля и теорема де Рама

Также доступен подробный конспект (источник)

Формула Эйлера и двойственность Пуанкаре

01:14 Введение в теорию графов
02:35 Конструкция двойственного графа
05:07 Самое интересное
07:13 Эйлерова характеристика сферы равна 2: доказательство

(источник)

Теруаки: режем, скручиваем, клеим

Нажмите на одну из пяти кривых, чтобы применить скручивание Дена вдоль неё. Цель: перевести заданный узор в стандартный.

Всего доступно 30 уровней. Играть — по ссылке.

По теореме Дена—Ликориша, любую неразбивающую простую замкнутую кривую можно перевести скручиваниями Дена в любую другую.

(источник)

Группы классов отображений поверхностей

00:00 Диффеоморфизмы поверхности, сохраняющие ориентацию
04:14 Как правильно думать о гомеоморфизмах и диффеоморфизмах
07:53 Определение группы классов отображений поверхности (aka модулярной группы)
10:50 Пример: скручивание Дена на торе
17:20 Кривые на поверхности (замкнутые, простые, существенные, неразбивающие)
27:08 Изотопия vs гомотопия
30:38 Алгебраический и геометрический индексы пересечения кривых
38:57 Критерий минимальности (отстутствие двуугольников)
46:00 Модулярная группа на бис
49:23 Модулярная группа диска (трюк Александера)
56:28 Модулярная группа сферы с 3 проколами
01:02:25 Модулярная группа кольца/ленты/цилиндра
01:05:59 Модулярная группа штанов
01:06:30 Определение скручивания Дена
01:12:36 Лемма об индексе пересечения
01:21:49 Нетривиальность скручиваний Дена
01:27:14 Свойства скручиваний Дена
01:39:04 Тождество фонарщика/лампочника

(источник)

"Скручивание Дена" поверхности вдоль кривой как гомеоморфизм (источник)

1. Поверхность с застёжками
2. Ручка
3. Плёнка
4. Поперечная ручка
5. Исчезновение дырки
6. Тождество Дика
7. Пример застёгивания молнии
8. Поперечная ручка — это две плёнки

Иллюстрации к доказатальству Конвея классификации компактных поверхностей, взятые из книги «Форма пространства»

>Нужно представлять себе, что у нас есть две копии нашей поверхности. Одна копия сделана из чего-то твёрдого (манекен), а другая — из резины или ткани (куртка), т.е. её можно растягивать, скручивать и сжимать.

>Также правильно представлять себе, что на этой поверхности есть опоясывающие молнии с застёжками-собачками. (Такие молнии расстёгиваются и застёгиваются однозначно — чтобы обеспечить непрерывность.)

>Гомеоморфизм — это правило, по которому мы берём нашу гибкую поверхность, расстёгиваем застёжки, взаимно-однозначно надеваем поверхность на манекен и застёгиваем молнии обратно.

(источник)

Доказательство теоремы Брауэра через лемму Шпернера

00:23 Шпернеровские раскраски триангуляций
01:13 Важное наблюдение
01:48 Лемма Шпернера: найдётся разноцветный треугольник
02:23 Доказательство
04:29 Итоги и обобщения
04:42 Вывод теоремы Брауэра из леммы Шпернера
05:08 Двумерный симплекс (треугольник)
05:35 От отображения к раскраске точек треугольника
06:24 Применение леммы Шпернера
07:49 Применение теоремы Больцано-Вейерштрасса
08:28 Сведение воедино

(источник)

Доказательство теоремы Брауэра через лемму о барабане

00:00 Введение
00:58 Концептуальное значение теоремы Брауэра
01:53 Примеры и контрпримеры
03:40 Обобщения
07:50 Иллюстрации
13:20 Понятие ретракции
14:15 Теорема о барабане
16:07 Эквивалентность теореме Брауэра
19:17 Приложения
24:30 Доказательство теоремы о барабане
39:23 Обобщённая теорема о барабане
41:31 Полная версия теоремы Брауэра и её история
45:35 Доказательство (индукция по размерности)
47:15 Игра Гекс и теорема об отсутствии ничьих

Также доступен подробный конспект (источник)

Теорема Брауэра о неподвижной точке

00:00 Эксперимент с картой
00:21 Формулировка теоремы (источник)
00:29 Контрпримеры (источник)
00:46 Цветная визуализация
01:17 Одномерная версия и её доказательство
02:17 Идея доказательства в 2D
03:54 Теорема Борсука-Улама
04:32 Доказательство

Подробнее в докладе

Что такое алгебраическая топология

0:33 Обзор
1:13 Формализация дыр
2:15 Симплициальные комплексы
4:20 Пример: окружность
5:44 Первая группа (симплициальных) гомологий
06:15 Пример: тор
8:05 Общее определение
9:35 Вторая группа (симплициальных) гомологий
10:23 Инвариантность
11:13 Сингулярные гомологии
13:12 Числа Бетти

(источник)

Теорема о причёсывании ежа

Подробнее в мини-курсе «Векторные поля на поверхностях»

Формула Эйлера должна быть неравенством

00:00 Графы на поверхностях
01:55 Триангуляции
02:52 Графы на плоскости
04:39 Тор
10:55 Интуитивное доказательство

(источник)

Каталог материалов по маломерной топологии

▪️Картинки
▪️Анимации (требуется VPN)
▪️Литература
▪️Курсы лекций и доклады

Лента Мёбиуса в задаче о вписанном прямоугольнике (источник)

Жизнь на торе по версии фильма «‎Форма пространства»‎

00:00 Квадратная развёртка тора
00:58 Что мы увидим изнутри

Классические поверхности

▪️диск (двумерный шар)
▪️кольцо/цилиндр/лента
▪️сфера
▪️тор
▪️сферы с ручками
▪️лента Мёбиуса
▪️бутылка Клейна
▪️проективная плоскость

Полный каталог: ссылка

Как самостоятельно изучать математику: пошаговое руководство

0:36 Линейная алгебра
2:20 Вещественный анализ
3:19 Топология
4:09 Комплексный анализ
5:46 Теория групп
6:54 Теория Галуа
7:23 Дифференциальная геометрия
8:44 Алгебраическая топология

(источник)