📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (07.04)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (08.04)
▪️Алгебраическая геометрия II (10.04)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (12.04)
▪️Замощения сдвигами функций (12.04)

▪️Классификация тесных контактных структур в полнотории (07.04)
▪️Сравнение по модулю 1 для η-инварианта трёхмерных римановых многообразий (07.04)
▪️Контактизация систем уравнений первого порядка на двумерных многообразиях (07.04)
▪️Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея III (11.04)
▪️Тройной трюк Уитни II (11.04)

На открытке: контактная структура в полнотории

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (31.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (01.04)
▪️Алгебраическая геометрия II (03.04)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (05.04)
▪️Замощения сдвигами функций (05.04)

▪️Двумерные узлы и гладкие структуры в S^4 (31.03)
▪️Are all 2-dimasional links in the 4-sphere slice? (02.04)
▪️Three Talks about Knots and Functional Integrals 3 (05.04)

На открытке: нормальное расслоение на стандартном торе

Дискретная теория Морса

Дискретная теория Морса на первый взгляд выглядит как игрушечный вариант гладкой, однако обладает не меньшей научной мощностью: позволяет считать эйлерову характеристику, вычислять гомологические группы, упрощать изучаемое многообразие. Можно управлять градиентным векторным полем так, как этому научил Милнор, однако его знаменитая «First Cancellation Theorem» о взаимном сокращении критических точек превращается в дискретном случае в милую, почти очевидную лемму. Мы научимся пользоваться этим замечательным методом (это просто) и порешаем задачи – от простых до пока не решенных (потребуется креативность).

Курсы «Теория Морса: гладкая и дискретная» и «Разбиения многообразий на ручки: в сторону теоремы об h-кобордизме» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гладкая теория Морса: самые общие сведения вкратце. Симплициальные комплексы, клеточные комплексы. Дискретная функция Морса по Робину Форману, первые примеры.
2. Морсовы гомологии, неравенства Морса.
3. Более содержательные примеры (целая россыпь комбинаторно-геометрических объектов, которые интересны сами по себе): сферы Бира, «знаменитые» многогранники – пермутоэдр и ассоциэдр, малые накрытия (по Дэвису–Янушкевичу), конфигурационные пространства шарнирных механизмов, и другие, сколько успеем.
4. Игра «угадай подкомплекс» и дискретная теория Морса.

Пререквизиты
Для понимания морсовых гомологий потребуется знание линейной алгебры и теории абелевых групп. Прочие знания (в т. ч. знание классической теории Морса) не предполагаются.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Время регистрации истекает.

Группы и теория гомотопий

Планируется разбор и обсуждение некоторых открытых проблем теории групп и маломерной теории гомотопий: проблемы асферичности Уайтхеда, D(2)-гипотезы Уолла, проблемы дыр соотношений, проблемы делителей нуля в групповых кольцах. Скорее это не курс, а беседы о теории групп и теории гомотопий с описанием различных примеров, трюков и методов.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 12 часов)

Программа
1. Философия и панорамный взгляд
2. Предчувствие функториальной хирургии
3. Гомологии групп
4. Запредельная алгебра
5. Формула Ву
6. Проблема Капланского
7. Методы комбинаторной теории групп
8. Дыры соотношений
9. Теория функторов

Литература
▪️J. Neisendorfer. Algebraic Methods in Unstable Homotopy Theory. Cambridge University Press; 2010.
▪️C. Hog-Angeloni, W. Metzler, A. Sieradski, eds. Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory. Cambridge University Press; 1993.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Ротор и дивергенция: наглядное объяснение

0:00 Векторные поля
2:24 Дивергенция
4:40 Ротор
5:57 Уравнения Максвелла: электрические и магнитные поля
7:50 Динамические системы
10:46 Обозначения (скалярное и векторное произведения)

(источник)
@geometry_and_topology_mcs_2024

В субботу (15 марта) в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Классификация Нильсена-Тёрстона»
Андрей Рябичев

Пусть S — замкнутая поверхность. Тогда элементы группы классов отображений Mod(S) делятся на три класса: периодические, приводимые и псевдоаносовские. Интересно, что описываются эти классы гомеоморфизмов в совершенно разных терминах: первый — в теоретико-групповом, второй — в терминах действия на классах кривых, а третий — в терминах некоторой геометрической структуры на поверхности. Кроме того, первые два класса пересекаются, но дизъюнктны с третьим.

Я расскажу доказательство этой теоремы, принадлежащее Берсу (1978), в нём рассматривается действие Mod(S) на пространстве Тейхмюллера Teich(S), а для построения слоений псевдоаносовского отображения используются квазиконформные отображения. Попутно я постараюсь напомнить многочисленные детали этого рассуждения — измеримые слоения, гиперболические/римановы структуры на поверхностях, теоремы существования/единственности Тейхмюллера, а также предыдущие термины.

Нильсен-Тёрстон и Тёрстон вслед за Берсом

Теорема классификации Нильсена-Тёрстона в теории групп классов отображений поверхностей и теорема Тёрстона в комплексной динамике являются краеугольными результатами в своих областях. Они дают нормальные формы для гомеоморфизмов и разветвленных накрытий поверхностей. В совместной работе с Белком и Винарски мы приводим теорему, которая содержит обе теоремы в качестве частных случаев. Мы доказываем эту теорему как следствие теоремы Тейхмюллера, подобно тому, как Берс доказал классификацию Нильсена-Терстона. Наша работа решает несколько открытых вопросов. Я буду стремиться к тому, чтобы доклад был доступен широкой аудитории топологов.

00:00 Введение
01:20 Классификация Нильсена-Тёрстона
06:24 Разветвлённые накрытия поверхностей
09:30 Теорема Тёрстона
11:40 Препятствия: циклы Леви
15:00 Почему это действительно препятствия
18:05 Теорема Тёрстона на бис
18:20 Обещанная убер/над/сверх/супер-теорема
22:04 Комплексные структуры и пространство Тейхмюллера
25:32 Метрика на пространстве Тейхмюллера
27:22 Пример: тор (задача Гросса)
30:49 Геодезические на пространстве Тейхмюллера (растяжения вдоль слоений)
33:34 Пулбэк не увеличивает расстояние
37:45 Исключительный случай сжатия
43:10 Доказательство сверхтеоремы и классификации Нильсена-Тёрстона a la Bers
48:18 Вопрос М. Бонк и ответ на него
52:19 Открытые проблемы
54:18 Вопросы и ответы

(источник)

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (10.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (11.03)
▪️Алгебраическая геометрия II (13.03)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (15.03)
▪️Замощения сдвигами функций (15.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (15.03)

▪️Геометрические реализации алгебраических объектов и производная некоммутативная алгебраическая геометрия (10.03)
▪️Свойства конечности для групп и теория Морса – 1 (10.03)
▪️Определение матрицы b-периодов дубля поверхности с краем по её ДН-оператору (10.03)
▪️Числа Райдемайстера автоморфизмов дискретных групп (12.03)

На открытке: визуализация конформных преобразований

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (03.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (04.03)
▪️Алгебраическая геометрия II (06.03)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (08.03)
▪️Замощения сдвигами функций (08.03)

▪️Внутри всякого трёхмерного многогранника найдётся точка с 10 нормалями к его границе (03.03)
▪️Flat-virtual knot: introduction and some invariants (03.03)
▪️Объемная энтропия симплициальных комплексов и слабое гомотопическое сплющивание топологических пространств II (05.03)
▪️Multi-virtual braid groups and their representations (05.03)
▪️Форма Зейферта проколотых n-многообразий в (2n−1)-пространстве (часть 2) (07.03)

На открытке: стандартная симплектическая структура на R^4

Геометрия трёхмерной сферы

00:00 «Curved spaces»
00:26 Полёт в трёхмерной сфере, содержащей лишь Землю
01:08 Работа зрения на примере евклидовой плоскости
02:43 Работа зрения на примере двумерной сферы
04:26 Работа зрения в трёхмерной сфере
06:18 Эффект антипода

(источник)

Обзор сферической геометрии:
00:00 Геометрия двумерной сферы с точки зрения флатландцев
00:55 Геометрия трёхмерной сферы
02:21 Hyperbolica
https://youtu.be/WlkvbSkhAL8

Евклидовы трёхмерные многообразия:
00:00 «Curved Spaces»
00:27 Работа зрения на примере квадратного тора
02:09 Трёхмерный тор (модель в кубе)
03:28 Модель трёхмерного тора в шестиугольной призме
04:08 Три двумерные геометрии
05:20 Классификация евклидовых многообразий (18)
06:15 Тор отображения поворота на одну шестую
06:47 Тор отображения полуоборота
07:42 Пространство Ханце-Вендта
08:22 Пространство Клейна
09:30 Наша вселенная
10:50 Гиперболическая геометрия
11:17 Пространство Зейферта-Вебера
11:30 Многообразие "призма"
https://youtu.be/IZYXQ9uhR98?si=v4GnPi7c1ii7_WmE

Художественный фильм «‎Форма пространства»‎

00:00 Загадка
00:42 Флатландия
02:36 Двумерный тор изнутри
04:50 Трёхмерный тор изнутри
06:27 Лента Мёбиуса изнутри
07:59 Пространство Клейна изнутри
09:15 Разгадка

(источник)