https://arxiv.org/abs/2207.04779

«A proof is one of the most important concepts of mathematics. However, there is a striking difference between how a proof is defined in theory and how it is used in practice. This puts the unique status of mathematics as exact science into peril. Now may be the time to reconcile theory and practice, i.e. precision and intuition, through the advent of computer proof assistants. For the most time this has been a topic for experts in specialized communities. However, mathematical proofs have become increasingly sophisticated, stretching the boundaries of what is humanly comprehensible, so that leading mathematicians have asked for formal verification of their proofs. At the same time, major theorems in mathematics have recently been computer-verified by people from outside of these communities, even by beginning students. This article investigates the gap between the different definitions of a proof and possibilities to build bridges. It is written as a polemic or a collage by different members of the communities in mathematics and computer science at different stages of their careers, challenging well-known preconceptions and exploring new perspectives.»

https://biblio.mccme.ru/node/282509

доступно второе (существенно дополненное) издание книги «Учимся на чужих ошибках» А.Д.Блинкова — более 200 текстов с разными ошибками и пробелами (многие пришли из реальных занятий со школьниками, из различных олимпиад; большинство — использовались на творческих конкурсах учителей математики) и их обсуждение

книга прежде всего для тех, кто ведет занятия со школьниками, — но может быть интересна и старшеклассникам и т.д.

(была какая-то техническая проблема, но всё снова доступно на сайте магазина)

https://mccme.ru/nir/seminar/
доступны видео недавних заседаний семинара учителей:

https://youtu.be/V65JcxLsgq0
Д.А.Калинин про олимпиаду 4 класса, проводимую в школе 57

https://youtu.be/5CYEk8zXlMw
https://youtu.be/4UDKWgbQJQE
Э.А.Акопян про задачи по комбинаторике и про групповые формы работы на уроках математики

https://youtu.be/uIuUFrRNpQs
А.И.Буфетов про историю математики в школьном преподавании математики

https://youtu.be/YO_e-JgbW84
призеры и члены жюри конкурса учителей математики о своих любимых задачах

Вышло второе, переработанное и расширенное издание книги "Учимся на чужих ошибках", составитель А.Д.Блинков.
https://biblio.mccme.ru/node/282509

В предлагаемой книжке собраны математические тексты, содержащие разнообразные ошибки: в формулировках утверждений, в условиях задач, ответах и решениях. Многие из них или их идеи «пришли» из реальных занятий со школьниками, из различных олимпиад и турниров, из пособий, адресованных учащимся и учителям, но ряд текстов придуман специально. Большинство этих сюжетов ранее было использовано на различных творческих конкурсах учителей математики (в их методической части).

Книжка адресована прежде всего учителям математики, педагогам дополнительного образования, ведущим занятия со школьниками, но может быть интересна и полезна также учащимся 7–11 классов и всем, кто интересуется математикой.

https://www.simonsfoundation.org/2013/11/12/michael-freedman/

к сегодняшнему д.р. Фридмана — пусть будет его большое видеоинтервью

для привлечения внимания — такая, например, цитата:

«Freedman was less than ideally prepared for graduate school, even though he had spent much of the drive from California to New Jersey with a math textbook propped open on the steering wheel. In his first class at Princeton, Freedman recalls, his professor, Donald Spencer, opened by saying, “Let S be the sheaf of germs of sections of a vector bundle.” Freedman thought to himself, ”Well, good, I know what a vector is.”»

https://www.math.ucla.edu/~pak/papers/cathist4.pdf

Игорь Пак про историю чисел Каталана

см. также вообще страницу https://www.math.ucla.edu/~pak/lectures/Cat/pakcat.htm

картинки по выходным — ассоциаэдр из диссертации D. Tamari (1951)

// этот фрагмент приводится в статьях Сташефа и Лодея, но саму диссертацию в сети найти не удалось

Условия второго дня

Условия 1 дня всеросса 2025

https://dacox.people.amherst.edu/lectures/newton.pdf

David A. Cox. Newton's Method, Galois Theory, and Something You Probably Didn't Know About A_5 (слайды)

Однажды я присутствовал на докладе одного методиста, который объяснял, как учить детей делить дробь на дробь.

Он рассказал, что правило было сформулировано, после чего он прорешал для детей в качестве примеров несколько задач такого рода. Затем порешали примеры дети, а потом им была дана контрольная письменная работа. И в этой контрольной письменной работе почти все сделали одну типичную ошибку. Они, в некоторых случаях, и все в одних и тех же, почему-то не переворачивали дроби, а просто перемножали – в некоторых случаях сначала переворачивали, а в других нет.

(…) Причина ошибки заключалась в том, что в примерах, которые предлагались детям до контрольной, вторая дробь всегда была правильная. Дети и усвоили из этих примеров, как надо действовать. Так они и действовали.

(…)

То обстоятельство, что дети в этом возрасте должны научиться понимать правило и пользоваться этой формулировкой, а вовсе не примерами, которые им были показаны, — это обстоятельство совершенно ускользнуло от этого методиста и от всех других, присутствовавших на его лекции.

Мне представляется зловредным заблуждением то, что сразу после формулировки даются примеры. Мне кажется совершенно несомненным, что дети должны сами, руководствуясь правилом, данным правилом, просчитывать первые примеры. Конечно, они должны приобрести навыки и дальше делать это автоматически, но ценнейшее обстоятельство, которое здесь имеется, то обстоятельство, что дети на этом примере могут научиться и должны научиться понимать формулировку, было упущено.

http://www.mathsoc.spb.ru/pantheon/rokhlin/Rokhlin.pdf

https://www.mathnet.ru/rus/aa339

А.В.Пухликов, А.Г.Хованский. Теорема Римана–Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам (1992)

«Работа посвящена доказательству теоремы (называемой авторами теоремой Римана–Роха), связывающей интеграл и целочисленную сумму квазиполинома по выпуклой цепи из некоторого семейства. Показано, что существует линейный дифференциальный оператор (оператор Тодда), переводящий интеграл в сумму. Это дает многомерное обобщение известной формулы Эйлера–Маклорена. »

https://math.hse.ru/announcements/1034864253.html

16, 23, 30 апреля пройдут дистанционные лекции А.Г.Хованского на тему «Топологическая теория Галуа, алгебраическая геометрия и выпуклая геометрия»

по содержанию можно ориентироваться на анонс https://pantheon.math.berkeley.edu/about/upcoming-events/lecture-series/chern-lectures/2024-2025-chern-lecture — но сейчас лекции будут на русском языке

зум-ссылка — elsewhere

На отрезке AB отметили точку X так, что AX:AB=1:10. После этого отрезок AB разделили на 2^10 равных частей. В каком отношении точка X делит ту часть, на которую попадает?

Предлагается попробовать решить такую задачу (вполне доступна и начинающим!), а потом можно заглянуть в статью Н.Солодовников «Удвоение отрезка и судьба точки» в Квантике, https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2024-08.10-12.pdf

https://gilkalai.wordpress.com/2025/04/09/boaz-klartag-striking-new-lower-bounds-for-sphere-packing-in-high-dimensions/

https://arxiv.org/abs/2504.05042

новости упаковки шаров в пространстве произвольной размерности

Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры.

1/2

Гриша Папаянов мне тут интересную тему рассказал. Есть такая теорема Акса-Гротендика, которая говорит, что любое инъективное полиномиальное отображение из n-мерного комплексного пространства в себя
ℂ^n → ℂ^n
сюръективно.

Интересна мне эта теорема не сама по себе, а методом доказательства, который рассказал мне Гриша, и которое можно найти по ссылке. Это абсолютно прозрачное доказательство, в котором используются конечные поля и ультрафильтры.

В доказательстве используется понятие фильтра, ультрафильтра, ультрапроизведения и предложения первого порядка, которые я напомню в следующих скрытых кусочках и гиперссылки сделаю (если знаете, можно не читать).

Фильтры.

Фильтр на множестве X — это такое множество F подмножеств X, что выполняются следующие аксиомы:
1) пустое множество не является элементом F;
2) F замкнуто относительно конечных пересечений;
3) F замкнуто относительно взятия надмножеств,
то есть если A ∈ F и A⊆B⊆X, то B ∈ F.

Например, окрестности какой-то точки в топологическом пространстве образуют фильтр. А ещё, если X бесконечно, то дополнения конечных множеств образуют фильтр.

Ультрафильтры.

Фильтры образуют упорядоченное множество по включению. Ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр. Эквивалентно можно определить ультрафильтр как фильтр F, у которого для любого подмножества A⊆X, либо A∈F, либо X\A∈F.

Например, для любого x_0 ∈ X, все подмножества содержащие x_0, образуют ультрафильтр. Такие ультрафильтры называются главными. Если X конечно, то все ультрафильтры главные. Все остальные ультрафильтры явно не строятся, а строятся при помощи следующего утверждения, которое доказывается при помощи леммы Цорна: для любого фильтра существует ультрафильтр, который его содержит. В частности, для фильтра дополнений конечных множеств есть ультрафильтр, который его содержит, и он не главный.

Ультрапроизведение.

Если есть семейство множеств (X_i)_{i∈I}, проиндексированное множеством I, и задан ультрафильтр F на I, то можно взять произведение этого семейства и профакторизовать по такому отношению эквивалентности: два элемента произведения x,y эквивалентны, если
{ i : x_i = y_i } ∈ F.
Фактор произведения по этому отношению эквивалентности называется ультрапроизведением этого семейства.

Когда все X_i равны, то это называется ультрастепенью. Например, гипервещественные числа из нестандартного анализа — это ультрастепень поля вещественных чисел относительно не главного ультрафильтра.

Предложения первого порядка.

Предложение первого порядка для колец — это, грубо говоря, утверждение про кольцо, записанное в кванторах в терминах элементов этого кольца и их произведений, сумм, с использованием единицы и нуля в качестве выделенных элементов. Без использования вспомогательных множеств типа натуральных чисел, без использования подмножеств, или функций. Все переменные только из кольца. Строгое определение можно почитать в википедии. Например, свойство кольца быть коммутативным можно выразить при помощи предложения первого порядка. И свойство быть полем тоже. И свойство о том, что любой многочлен данной степени n имеет корень тоже. Но, например, свойство иметь счётную мощность, или какое-то фиксированное число порождающих, нельзя выразить как предложение первого порядка. Предложения первого порядка могут быть определены для любой сигнатуры. Это всё из теории моделей.

Фундаментальная теорема об ультрапроизведениях (Теорема Łoś'a) говорит, что если у вас есть семейство моделей X_i над какой-то сигнатурой, и какое-то предложение первого порядка, то оно выполняется для их ультрапроизведения относительно ультрафильтра F тогда и только тогда, когда множество индексов i, что оно выполняется для X_i, лежит в F.

В частности, если какое-то предложение первого порядка верно для всех X_i, то оно верно и для их ультрапроизведения.

Отсюда получаем, что ультрапроизведение полей — это поле. И ультрапроизведение алгебраически замкнутых полей — это алгебраически замкнутое поле.

2/2

Дальше при помощи этого всего добра доказываем теорему Акса-Гротендика.

Можно задаться вопросом, для каких полей F утверждение
"любое инъективное полиномиальное отображение из F^n в себя сюръективно"
верно?

Заметим, что если фиксировать n и степени всех n полиномов от n переменных, то это утверждение можно записать в виде предложения первого порядка.

Для конечных полей F это утверждение верно.

Если K_p — алгебраическое замыкание поля из p элементов, то из того, что любое его конечно порождённое подполе конечно, тоже получается, что это верно.

Значит оно верно и для ультрапроизведения K всех K_p по всем p относительно не главного ультрафильтра на множестве простых чисел.

Это ультрапроизведение K, так же как и все сомножители, является алгебраически замкнутым полем. И его характеристика равна нулю.

Обычное произведение всех K_p, понятное дело, имеет континуальную мощность. Можно показать, что и ультрапроизведение K имеет континуальную мощность. Это обычная задачка на теорию множеств: (Для этого достаточно заметить, что есть континуальное семейство функций ℕ → ℕ, разные члены которого совпадают только на конечном числе элементов. Чтобы построить такое семейство, нужно для каждой последовательности
a : ℕ → {0,1}
определить функцию
f_a : ℕ → ℕ
по формуле
f_a (n) = a(0)*2^0 + a(1)* 2^1 + ... +a(n)*2^n.)

Теорема Штайница говорит, что любое алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности изоморфно полю комплексных чисел. То есть K изоморфно ℂ. Теорема доказана.

https://mast.queensu.ca/~murty/murty.pdf

M.Ram Murty. Prime Numbers and Irreducible Polynomials

с подачи А.С.Штерна в разных местах обсуждают такую теорему:

запишем число цифрами — в 10-чной, например, системе счисления — и заменим 10 на x

оказывается, если число было простым, то и многочлен будет неприводим в Z[x]

вот по ссылке популярная статья про это

2025 New Horizons in Mathematics Prize:

Ewain Gwynne — for contributions to conformal probability, in particular to the understanding of the LQG metric

John Pardon — for contributions to symplectic topology and other areas of geometry and topology

Sam Raskin — for contributions to the geometric Langlands program, including the theory of the Whittaker model and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0

Breakthrough Prize in Mathematics 2025 получает Денис Гайцгори за центральную роль в доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса

https://breakthroughprize.org/News/91

«For foundational works and numerous breakthrough contributions to the geometric Langlands program and its quantum version; in particular, the development of the derived algebraic geometry approach and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0.»

в качестве картинок по выходным — примеры самоподобия из последнего Кванта (№2 за 2025 год; В.Кириченко и В.Тиморин)

https://kvant.mccme.ru/pdf/2025/2025-02.pdf

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг (10.04) на семинаре учителей математики Дмитрий Калинин будет рассказывать о тестовой олимпиаде 4 класса в школе 57

как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

А вы знаете про альтернативную формулу решений квадратного уравнения?

Вместо "минус бэ плюс-минус корень... поделить на два а", в ней "2це поделить на минус бэ минус-плюс корень...".

Ну, разобраться в том, что она дает ровно те же два решения, не очень тяжело.

Почему там "минус-плюс" в знаменателе, тоже не бином Ньютона: суть в том, что один и тот же корень получается, если в первоначальной формуле взять плюс, а в этой минус. И наоборот, если в обеих взять плюс, то выйдут два разных корня, в общем случае.

Но вот зачем это все надо? Те, кто знают, уже усмехаются и кивают, а я расскажу.

Это нужно, если обычная формула заставляет сделать "катастрофическое сокращение". Что такое катастрофическое сокращение, спросите вы? Это когда мы делаем вычитание двух чисел, очень близких друг к другу. Из-за того, как вещественные числа записываются в памяти компьютера (вспоминайте эти странные слова: мантисса... экспонента...), происходит потеря точности.

Например, если b очень большое в сравнении с a,c, то получится, что дискриминант sqrt(b^2-4ac) очень близок по значению к b. Тогда операция -b+sqrt(D) потеряет почти все значащие биты в представлениях b и sqrt(D). Мы получим какое-то решение, но оно легко может на 10-20% отличаться от истинного. А второе решение, где берется минус, будет в порядке.

Тут-то и пригождается альтернативная формула: где в обычной минус, в ней плюс и наоборот. Тот же корень она позволит вычислить с гораздо большей точностью.

Все старое опять становится новым. Когда-то в 70-х и 80-х годах прошлого века, такие трюки были обыденным делом для программистов. Потом мы все привыкли к 64-битным вещественным типам и обленились, хотя конечно эксперты в определенных областях знали и это и гораздо более продвинутые техники численного анализа. А сейчас в нейронных сетях один из главных трендов - снижение точности до 32- и 16-битных представлений, чтобы выиграть скорость и память на миллионах и миллиардах параллельных операций внутри GPU. Не то чтобы с 64-битными числами не надо никогда следить за точностью, но в 32- и 16-битных эта проблема опять выходит на передний план.

Для пространства X рассмотрим конфигурационное пространство
F_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n: xi ≠ xj при i≠j},
("его точки — упорядоченные наборы n частиц, бегающих по X").
Часто также пишут Conf_n(X) вместо F_n(X), а пространство неупорядоченных наборов обозначают C_n(X) := Conf_n(X) / S_n. Буква F происходит от фамилии Fadell; это я узнал из обзора, который написал Kallel.)

Разумная гипотеза: если M и N — гомотопически эквивалентные многообразия, то F_n(M) и F_n(N) — тоже. (то есть "F_n(M) — гомотопический инвариант многообразия M")

Частичные подтверждения:
(1) Levitt, 1995: ΩF_n(M) — гомотопический инвариант. Если M 2-связно, то F_2(M) — гомотопический инвариант.
(2) Aouina-Klein, 2003: если M — r-связное d-мерное, то
Σ^N F_n(M) — гомотопический инвариант при N-2>(n-2)d-r.

Опровержение:
(3) Longoni-Salvatore, 2004: рассмотрим линзовые пространства M=L(7,1) и N=L(7,2). (Это гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные замкнутые трехмерные многообразия; оба — факторпространства S^3 по Z/7Z). Тогда F_n(M) и F_n(N) не гомотопически эквивалентны. При n=2 доказывается так:
односвязное накрытие над F_2(M) гомотопически эквивалентно букету шести копий S^3 x S^2;
односвязное накрытие над F_2(N) имеет нетривиальные произведения Масси в когомологиях.

π и e появляются вместе в замечательной асимптотической формуле Стирлинга для факториала,

n! ~ √(2πn) (n/e)^n

в приложении обсуждение разных доказательств этого утверждения

(via А.Устинов)

https://xkcd.com/3023/

к 1 апреля — формула, связывающая пи и e

https://mccme.ru/dubna/2025/inform1.htm

Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда в этом году пройдет в Дубне с 19 по 30 июля. Принимаются заявки от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.

Можно посмотреть видеозаписи курсов прошедших школ https://mccme.ru/dubna/courses/ — и брошюры, написанные по мотивам некоторых из них https://mccme.ru/dubna/books/

в качестве картинок к (прошедшим) выходным: графы Кэли группы диэдра и ее родственника ( https://en.wikipedia.org/wiki/Quasidihedral_group )

Coarsebook. Я часто тут упоминаю грубую геометрию, и читаю по ней курс в НМУ. Так получилось, что последние несколько лет она у меня в центре научных интересов. И хотя у меня пока нет полноценных опубликованных работ по ней (но думаю, что уже скоро-скоро 😊), я решил не оттягивать и выложить наконец-то конспект лекций, известный в узком круге моих падаванов как coarsebook.

Несколько моментов.
1. На вопросы про приложения мне ответить сложно. Наука довольно молодая, и конкретных applications покамест нет. Но я абсолютно уверен что они будут.
2. Отцам основателям (Ю, Роу, Новак, Громов и другие) она была нужна в контексте грубой гипотезы Новикова. Зачем: не важно. На мой взгляд грубая геометрия давно уже вышла за рамки этой гипотезы и в целом является очень удачным языком и способом описания много каких других результатов. К примеру понятие роста группы намного яснее, если его обсуждать с грубой точки зрения.
3. Несколько итераций назад, книга была гораздо более похожа на книгу Роу, чем сейчас. Хотя влияние безусловно ощущается и сейчас.
4. Я буду очень признателен за присланные опечатки, ошибки и даже просто за замечания типа "там-то и там-то нихрена не понятно". Присылать лучше всего в бот @ForodirchBot — мне так будет их проще обрабатывать.

Идеальный формат присланной опечатки: стр N, строка K (сверху\снизу), написано "малако", нужно "молоко".

Если кому-то кажется, что где-то нужна та или иная иллюстрация — вам скорее всего не кажется. За идеи иллюстраций (в идеале за сами картинки или хотя бы эскизы) — буду очень благодарен отдельно.

5. О дальнейшей судьбе. Вероятнее всего, "будем публиковать" в МЦНМО. Месяц назад текст мне казался совершенным, сейчас не кажется 😊 Так что дорабатываю.

Ну и вообще, я буду рад отзывам и комментариям. Содержательно хвалебным — безусловно, но и критическим комментариям мои уши также открыты.

«Масаки Кашивара придумал кристаллы — это цветные ориентированные графы, у которых ребра покрашены некоторым множеством цветов, без монохромных циклов и в которых выполняются некоторые условия на «взаимодействия» ребер разного цвета с общей вершиной. В этом классе кристаллов находятся так называемые регулярные кристаллы, которые соответствуют интегрируемым представлениям соответствующих алгебр. Для каждой (классической) картановской матрицы, регулярные кристаллы образуют тензорную категорию, изоморфную категории представлений соответствующей (классической алгебры) алгебры Каца–Муди. Кристаллы — это комбинаторные «скелеты» представлений, на которых можно отвечать на многие вопросы теории представлений, используя комбинаторику.

Я расскажу про элементарную конструкцию кристаллов Кашивары типа A и как ее можно использовать для некоторых фундаментальных конструкций в комбинаторике, таких как соответствие Робинсона–Шенстеда–Кнута, правило Литтлвуда–Ричардсона, инволюции Шютценберже и многие другие. Этот новый взгляд мы развивали совместно с В.И.Даниловым.»

по касательной к предыдущему — пусть здесь будет рассказ Г.Кошевого на семинаре «Глобус» про его точку зрения на кристаллическую комбинаторику

https://arxiv.org/abs/0810.4875

P.Schapira. Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis

«Recall that Masaki’s work covers many fields of mathematics, algebraic and microlocal analysis of course, but also representation theory, Hodge theory, integrable systems, quantum groups and so on. (…) In each of the domain he approached, Masaki has given essential contributions and made important discoveries, such as, for example, the existence of crystal bases in quantum groups. But in this talk, I will restrict myself to describe some part of his work related to microlocal and algebraic analysis.»

https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2025

премию Абеля 2025 года получает Масаки Касивара за D-модули и кристаллы

https://turgor.ru/problems/46/vs-46-baz-avt.pdf
https://turgor.ru/problems/46/vs-46-sl-avt.pdf

опубликованы задачи весеннего Турнира городов

https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf

J.S.Milne. Lectures on Etale Cohomology

https://mccme.ru/nir/seminar/

на семинаре учителей математики в четверг (27.03) Эмма Акопян будет рассказывать 1) про задачи по комбинаторике; 2) про групповые формы работы на уроке математики

как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

картинки по выходным — из статьи «Visualising the arithmetic of imaginary quadratic fields» (Katherine E. Stange)

«We study the orbit of R∪{∞} under the Bianchi group PSL_2(O_K), where K is an imaginary quadratic field. The orbit, called a Schmidt arrangement S_K, is a geometric realisation, as an intricate circle packing, of the arithmetic of K. This paper presents several examples of this phenomenon…»

https://mccme.ru/dubna/2024/notes/timorin-notes.pdf

новая, расширенная версия записок В.А.Тиморина про инварианты равносоставленности в геометрии и динамике (по его курсу на ЛШСМ-2024)

https://jexpmath.org/index.php/jem/issue/view/Vol-1Issue-1

доступен первый выпуск нового The Journal of Experimental Mathematics

https://arxiv.org/abs/2201.13417

«The two of us have shared a fascination with James Victor Uspensky's 1937 textbook Introduction to Mathematical Probability ever since our graduate student days: it contains many interesting results not found in other books on the same subject in the English language, together with many non-trivial examples, all clearly stated with careful proofs. We present some of Uspensky's gems to a modern audience hoping to tempt others to read Uspensky for themselves, as well as report on a few of the other mathematical topics he also wrote about (for example, his book on number theory contains early results about perfect shuffles).

Uspensky led an interesting life: a member of the Russian Academy of Sciences, he spoke at the 1924 International Congress of Mathematicians in Toronto before leaving Russia in 1929 and coming to the US and Stanford. Comparatively little has been written about him in English; the second half of this paper attempts to remedy this.»

https://t.me/mathtabletalks/4402

https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_sol_rus.pdf

http://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_sol_eng.pdf

доступны решения заочного тура олимпиады по геометрии им. Шарыгина

#физика

Недавно благодаря нашему другу и активному участнику обсуждений наших роликов Александру Бердникову мы открыли для себя сайт профессора математики Пенсильванского университета Марка Леви с замечательным разделом «Mathematical Curiosities» — «Математические диковинки». И там есть статья, мимо которой мы пройти не смогли, — доказательство формулы косинуса разности на основе принципа невозможности вечного двигателя.

Идея заключается в следующем: работа, совершаемая силой тяжести, не может зависеть от пути, по которому перемещается тело из начальной точки в конечную. Если бы это было не так, мы прошли бы до конечной точки по пути, на котором работа силы тяжести больше, а затем вернулись в исходную точку по другому пути, при этом работа силы тяжести меняет знак на противоположный, но по величине остаётся меньше, чем на первом пути. Тогда при обходе замкнутого контура работа оказывается положительной, и мы получаем вечный двигатель, что невозможно.

А теперь выберем в поле тяжести два специальных пути: пусть один из них проходит по гипотенузе, а другой — по двум катетам прямоугольного треугольника. Приравнивая работу силы тяжести по этим путям, мы легко получаем формулу косинуса разности двух углов!

И тут возникает вопрос: неужели вся тригонометрия выводится из невозможности вечного двигателя? Мы, конечно, знаем, что физика часто помогает математике, но не настолько же! Все тригонометрические соотношения выводятся чисто геометрически из определений основных тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теоремы Пифагора. В чём же тут дело?

Смотрите наш новый ролик «Косинус разности и вечный двигатель», размышляйте о взаимосвязи и взаимопроникновении физики и математики и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно найти данный выпуск на различных платформах.

[Поддержите нас]

https://sbseminar.wordpress.com/2009/07/28/topology-that-algebra-cant-see/

«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space using the ordinary topology on ℂ. One of the main themes of algebraic geometry in the last century has been learning how to study the topology of X in terms of the algebraic properties of the defining equations.

In this post, I will explain that there are intrinsic limits to this approach; things that cannot be computed algebraically. In particular, I want to explain how from a categorical point of view, we can’t even compute the homology H₁(X,ℤ). And, even if you don’t believe in categories, you’ll still have to concede that we can’t compute π₁(X). This is a very pretty example and it should be more widely known.

Absolutely none of the ideas in this post are original; I think most of them are due to Serre.»

https://maa.tandfonline.com/journals/uamm20/collections/Mathematics-of-Pi

подборка статей про пи из AMM

https://youtu.be/6dTyOl1fmDo

к 3/14 — новое видео от 3Blue1Brown с продолжением истории про пи и подсчет числа соударений грузов разной массы

https://www.jmilne.org/math/xnotes/Tate.pdf

The Work of John Tate (by J.S.Milne)

http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300444p.pdf

интервью Тейта 2010 года

https://math.stackexchange.com/a/25125/

краткие объяснения про знаменитую диссертацию Тейта (M.Emerton)

сегодня 100 лет со дня рождения Джона Тейта

https://education.tbank.ru/activities/grant/

гранты Т-Банка для учителей математики, физики, информатики (заявки принимаются до 16.06, дальше несколько стадий отбора, итоги осенью)

в прошлом году было примерно 200 победителей

https://www.scientificamerican.com/article/9-unsolved-mysteries-in-mathematics/

несколько математиков рассказали про интересующие их проблемы (разной степени элементарности — от существования нечетных совершенных чисел до гипотезы Ходжа)

https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=dbn&wshow=contents&option_lang=rus

напомним про серию брошюр Летней школы «Современная математика»

большинство из них свободно распространяются в электронном виде — с недавних пор и на матнет.ру

https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.39.pdf

продолжим тему брошюрой «Многомерный куб» Г.А.Гальперина

в ней рассказывается, как получить формулу для числа граней куба любой размерности и как распространить ее на другие правильные многогранники; рассматриваются комбинаторные и топологические свойства многомерного куба, связанные с ним парадоксы, гипотеза Борсука; обсуждаются вопросы об объеме корки n-мерного кубического и шарового «арбуза» и электрическом сопротивлении n-мерного куба…

слева картинка из книги «Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions» (Esprit Jouffret) — пишут, что ее читал Пикассо

https://www.mathedu.ru/text/mp_2006_v10/p109/

статья Гаянэ Паниной про алгебру многогранников в Мат. просвещении (сер. 3, вып. 10)

«Why everyone should know number theory» (Minhyong Kim, 1998)

https://www.mathnet.ru/rus/rm9886

статья В.М.Бухштабера и А.П.Веселова про топограф Конвея, тройки Маркова, группу PGL_2(Z), двузначные формальные группы и проч.

https://youtu.be/tsb_WC-IAEk

большое интервью Александра Васильевича Шаповалова (Д.Швецов)

текст А.В.Шаповалова «Как придумывать задачи» (по его лекции для учителей в школе Интеллектуал)

про такое редко пишут, а Александр Васильевич редкий человек, который может придумать [олимпиадную] задачу более-менее любой сложности на любую тему

https://arxiv.org/abs/math/0003240

Burt Totaro. Chern numbers for singular varieties and elliptic homology (2000)

«A fundamental goal of algebraic geometry is to do for singular varieties whatever we can do for smooth ones. Intersection homology, for example, directly produces groups associated to any variety which have almost all the properties of the usual homology groups of a smooth variety. Minimal model theory suggests the possibility of working more indirectly by relating any singular variety to a variety which is smooth or nearly so.

Here we use ideas from minimal model theory to define some characteristic numbers for singular varieties, generalizing the Chern numbers of a smooth variety. This was suggested by Goresky and MacPherson as a next natural problem after the definition of intersection homology. We find that only a subspace of the Chern numbers can be defined for singular varieties. A convenient way to describe this subspace is to say that a smooth variety has a fundamental class in complex bordism, whereas a singular variety can at most have a fundamental class in a weaker homology theory, elliptic homology. We use this idea to give an algebro-geometric definition of elliptic homology: “complex bordism modulo flops equals elliptic homology”.»

https://photographmag.com/reviews/man-ray-human-equations-a-journey-from-mathematics-to-shakespeare/

«Here’s the back-story: In the 1930s, Max Ernst encouraged Man Ray, a fellow Surrealist, to visit these models of mathematical equations at the Institut Poincaré. (…) At first, Man Ray merely photographed the models, using dramatic lighting to bring out their angles, shadows, and grooves.

But Man Ray went one step, sometimes two steps, too far. In the late 1940s, long after he’d left occupied France and moved to the United States, he revisited the photographs he’d taken in the 1930s and made paintings based on them – the “Human Equations.” And once he had finished the paintings, he gave some of them Shakespearean titles; these were his “Shakespearean Equations.” For instance, his painting based on the “Kummer Surface” model seems to show a tawny, flat-headed figure running with his arms thrown out; this becomes “King Lear.” For another painting based on a mathematical model, which resembles a man’s starched shirt front with holes gouged out, he adds in the figure of an upside-down chair leg with a guilty-looking caster as a head; this becomes “Julius Caesar.” As Breton all but predicted, the comparison of gorgeous, uncanny mathematical models with Surrealist painting does Surrealist painting no favor at all.»

https://terrytao.wordpress.com/2008/03/24/dvirs-proof-of-the-finite-field-kakeya-conjecture/

https://arxiv.org/abs/0803.2336

хочется напомнить и о версии задачи Какейи над конечными полями

http://kvant.mccme.ru/1973/04/o_vrashchenii_otrezka.htm

для контекста — напомним статью Болтянского в Кванте о том, как построить множество на плоскости сколь угодно малой площади, внутри которого можно развернуть отрезок

https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/

https://arxiv.org/abs/2502.17655

«There has been some spectacular progress in geometric measure theory: Hong Wang and Joshua Zahl have just released a preprint that resolves the three-dimensional case of the infamous Kakeya set conjecture! This conjecture asserts that a Kakeya set – a subset of R^3 that contains a unit line segment in every direction, must have Minkowski and Hausdorff dimension equal to three.»

Вышел первый номер журнала "Математика" за 2025 год (методический журнал для учителей математики)
https://biblio.mccme.ru/node/280227

https://mccme.ru/dubna/2024/notes/arjantsev-transitive.pdf

записки И.В.Аржанцева про бесконечно транзитивные действия групп (по курсам на ЛШСМ-2024 и 2021)

о том, как (не) стоит считать π, и о магии им. Эйлера


1.
одна из первых идей, приходящих в голову человеку, изучавшему базовый анализ — разложить подходящую функцию в степенной ряд и что-то в него подставить

если взять arctg(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - …, подставить¹ x=1, то получается замечательно простая формула Лейбница π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … — чего еще желать?..

¹ и проговорить нужные слова, потому что мы оказывается, вообще-то, не внутри, а на границе круга сходимости

в прошлый раз для сотни правильных знаков хватило 4 итераций, сейчас попробуем взять… ну, скажем, 1000 членов:

from mpmath import *

n = 1000
mypi = mpf(0)
s = mpf(4)
for k in range(n):
mypi += s / mpf(2*k+1)
s = -s

print(n,nstr(mypi,10),
"diff:",nstr(pi-mypi,3,min_fixed=1))


1000 3.140592654 diff: 1.0e-3

видно, что погрешность ~1/1000… и вообще, можно понять, что для N слагаемых такой способ дает погрешность ~1/N — то есть чтобы получить 100 знаков нам нужно сложить ~10^(100) слагаемых (!!!)


2.
кажется, что это совсем тупиковая ветвь… и все же, не будем унывать сразу

посмотрим, скажем, на сумму 5 млн членов

погрешность получается ожидаемая, порядка 1/N, т.е. шесть цифр после запятой верны, а седьмая уже нет (получается 3,1415924… вместо 3,1415926…)

но то, что видно дальше, иначе как магией не назовешь: например, следующая дюжина цифр снова правильная!

from mpmath import *
mp.dps = 100

n = 2500000
mypi = mpf(0)
for k in range(1,n+1):
mypi += mpf(8) / ((4*k-3)*(4*k-1))

for (s1,s2) in zip(nstr(mypi,60),nstr(pi,60)):
print(s1 if s1==s2 else s1+'\u0332',end='')
print()
вот что получается в результате суммирования (неправильные цифры подчеркнуты):

3.14159245358979323846464338327950278419716939938730582097494

и, на самом деле, такого количества слагаемых уже достаточно, чтобы найти не только первые 6, но и первые 60 знаков π


продолжение ниже

https://youtu.be/hFMaT9oRbs4

в качестве картинок по выходным — продолжение серии 3Blue1Brown и Т.Тао про измерение расстояний до планет, звезд и т.п.

https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_rus.pdf
https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_eng.pdf

начинается заочный тур XXI олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

как обычно: 24 задачи по классической геометрии для разных классов, в основном непростые, русская и англ. версии

есть еще немного времени поучаствовать в заочном туре олимпиады по геометрии им. Шарыгина

https://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01178-0/S0273-0979-07-01178-0.pdf

Burt Totaro. Euler and algebraic geometry

«Euler’s work on elliptic integrals is a milestone in the history of algebraic geometry. The founders of calculus understood that some algebraic functions could be integrated using elementary functions (…). Euler realized that integrating other algebraic functions leads to genuinely different functions, elliptic integrals. These functions are not something ugly. As Abel discovered, their inverses are doubly periodic functions on the complex plane.

(…)

In section 1, we reach a major open problem of algebraic geometry: which representations of the fundamental group are summands of the cohomology of some family of algebraic varieties? Or, equivalently: which linear differential equations can be solved by integrals of algebraic functions? One might not expect any good answer to these questions, but in fact there are two promising approaches (the Simpson and Bombieri-Dwork conjectures).

Section 2, more elementary, gives an introduction to birational geometry. I hope to explain the significance of the problem of finite generation of the canonical ring (…)»

https://mccme.ru/nir/seminar/
добавлены видео недавних заседаний семинара учителей:

https://youtu.be/90IHmmhl5m8 — П.В.Семенов про независимость в теории вероятностей

https://youtu.be/Ke0ubtrNl5Y — Н.Н.Андреев про Математические этюды в 2024 году

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг 27.02 будет не совсем обычное заседание семинара учителей математики: М.О.Голубев, С.А.Иванов, М.Э.Коган, А.А.Заславский, Д.В.Прокопенко, П.В.Чулков, А.Д.Блинков расскажут о своих любимых математических задачах

Уже в эту пятницу состоится первая в истории встреча семинара! Открывать его будет Игорь Шиманогов, в течение нескольких заседаний он расскажет о счётных булевых алгебрах.

ПЯТНИЦА 21.02 18:30 907КПМ

William Browder (1934–2025)

https://www.simonsfoundation.org/2017/06/14/william-browder/

видеоинтервью Браудера 2012 года

https://youtu.be/MwnFH83a8O8

Wild Mathing выложил новое видео — про хроматические числа

https://cs.hse.ru/seminatfkn

в пятницу 21.02 на мат. семинаре ФКН Л.Д.Беклемишев будет рассказывать про циклические доказательства

«В последние годы в математической логике получили распространение формальные системы, основанные на циклических и нефундированных доказательствах. Они оказались удобными для аксиоматизации логических языков с разнообразными формами индукции, рекурсии или неподвижных точек. Они применяются как для анализа свойств таких языков, так и для задач автоматизации поиска доказательств.

В циклическом доказательстве логические правила вывода существенно не отличаются от обычных, однако помимо аксиом имеются дополнительные гипотезы, которые обосновываются ссылками на идентичные утверждения, получаемые в выводе *позже* этих гипотез. Для того, чтобы такие доказательства не приводили к порочному кругу, на ссылки накладываются дополнительные условия, и правильная формулировка таких условий представляет собой в каждом конкретном случае нетривиальную задачу.

Мы расскажем о совместной работе с Д.С.Шамкановым и И.Н.Смирновым, в которой разработаны новые циклические системы для классической арифметики Пеано и ее основных фрагментов.»

видеоразборы: https://www.youtube.com/playlist?list=PL1_fhZxYSmgoEoPlpNu3BU-97HHdUk6AR

(заодно на preview можно увидеть решение задачи выше)

разрежьте яблоко на рисунке на 5 равных¹ (несвязных) фигур

¹ т.е. фигуры должны быть нарисованы при помощи одного и того же трафарета

// ранее на тему разрезаний на одинаковые несвязные фигуры: https://t.me/cme_channel/423

задача предлагалась сегодня на Математическом празднике (автор И.Русских)

на сайте https://mccme.ru/matprazdnik выложены задачи, решения, видеоразборы

https://github.com/nasosev/hopf-fibration/blob/master/README.md

картинки по выходным — про расслоение Хопфа (интерактивные)

ранее про расслоение Хопфа: https://t.me/cme_channel/640

https://vkvideo.ru/video-163532021_456239221
https://vkvideo.ru/video-163532021_456239223

А.Д.Блинков рассказывает про задачи на построение

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2024-09.2-7.pdf

статья Н.Андреева и А.Гасникова «Поиск самой вкусной шоколадки» в журнале «Квантик» №9 за 2024 год

про шоколадки, оптимизацию, золотое сечение и проч.

https://www.lektorium.tv/extremalnaya-kombinatorika

новый онлайн-курс по экстремальной комбинаторике от А.М.Райгородского

День математика в 179 школе

15 февраля в московской школе № 179 состоится традиционная мини-конференция в рамках Дня математика, посвящённого дню рождения Н.Н. Константинова.
В программе — много интересных докладов для школьников!

Программа
Секция 7–9 классов
13:00 – 13:55 — «Задачки Квантландии», Михаил Евдокимов
14:10 – 15:05 — «Теория чисел и алгоритм RSA», Валентина Кириченко
15:20 – 16:00 — «Хроматическое число плоскости — хотя бы 5», Лев Азманов

Секция 9–11 классов
13:00 – 13:55 — «Окружности и расслоение Хопфа», Владлен Тиморин
14:10 – 15:05 — «Группы в действии», Алексей Городенцев
15:20 – 16:00 — «Базисы Грёбнера», Юлия Зайцева

Анонсы на канале кружочка. Форма регистрации
Адрес: Москва, ул. Большая Дмитровка, 5/6с7

https://mccme.ru/ru/nmu/courses-of-nmu/vesna-20242025/s25-topology3/

в этом семестре Т.Е.Панов читает в НМУ топологию для 2 курса — начиная с понедельника 17.02

Тарасу Евгеньевичу Панову исполняется сегодня 50 лет

в честь этого в МГУ 11-12 февраля проходит мини-конференция https://www.mathnet.ru/rus/conf2545

а здесь пусть будет обзор https://www.mathnet.ru/rus/rm320 «Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра» Бухштабера и Панова

https://youtu.be/s6c4ZMSexkI
https://youtu.be/FOkyFVG5xcI
https://youtu.be/qh9Bz9APr8k
https://youtu.be/Vgd_Nnrsa_0

напомним серию роликов А.Щетникова и коллег

https://youtu.be/YdOXS_9_P4U

новое видео от 3Blue1Brown и Т.Тао про то, как люди измерили размеры Земли, Луны, Солнца, про Кеплера и орбиты… (продолжение следует)

картинки по выходным — построение кривой, проходящей через все точки квадрата из статьи Гильберта «Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück»

// via В.Клепцын

https://biblio.mccme.ru/node/276875

вышла третья книга «Истории математики» В.В.Прасолова — от начала XX века до наших дней

https://biblio.mccme.ru/node/276781

обычно не пишем про переиздания, но про учебник «Алгебраическая топология» Хатчера много спрашивали — вот, теперь его снова можно купить

https://youtu.be/w3CufD2h_y8

напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

https://mccme.ru/dubna/2025/prepods0.htm

начался прием заявок на проведение занятий на XXIV Летней школе «Современная математика» имени Виталия Арнольда

прием заявок от желающих участвовать в работе школы студентов и школьников начнется в марте, а пока можно посмотреть материалы прошедших школ — https://mccme.ru/dubna/courses/