Пример. Разложить на множители многочлен x ⁸ + x⁴ + 1.

Решение этого примера проще всего провести методом выделения полного квадрата:
x ⁸ + x⁴ + 1 = (x⁴ + 1)² – x⁴ =
= (x⁴ – x² + 1)(x⁴ + x² + 1) =
= ((x² + 1)² – 3x²) ((x² + 1)² – x²) =
= (x² – √3x + 1) (x² + √3x + 1)×
×(x² – x + 1) (x² + x + 1).

Leonid Koganov выполнил это разложение с помощью комплексных чисел, сведя задачку к вычислению корня 12-й степени из 1 с последующим исключением «лишних» корней и попарным перемножением множителей, содержащих сопряжённые корни.

Основное свойство дроби как метод решения уравнений

Сперва вспомним старый анекдот. В бар заходит довольно большое количество математиков — n человек. Первый из них просит налить пинту пива, второй просит налить полпинты, третий — четверть пинты… Тут бармен и говорит: «Стоп-стоп, ребята. Вот вам на всех 2 – 2¹⁻ⁿ пинты и делите как хотите».

При решении некоторых уравнений полезно иметь в виду приём домножения обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Это действие стоит попробовать в том случае, если в его результате при помощи алгебраических формул некое чудовище превратится в красавицу.

Пример 1. Решить систему уравнений:
y = x + 1,
(y + x)(y² + x²) (y⁴ + x⁴) = 255x⁸.

Решение. Домножим второе уравнение на выражение (y – x), равное 1 в силу первого уравнения. После трёхкратного применения формулы разности квадратов получим:
y⁸ – x⁸ = 255x⁸.
Отсюда найдём: y = 2x или y = –2x.
С учётом первого уравнения получим решение:
(x; y) ∈ {(1; 2); (–⅓; ⅔)}.


Пример 2. Решить уравнение:
(1 + x + … + x⁷)(1 + x + … + x⁵) =
= (1 + x + … + x⁶)².

Решение. Домножим обе части равенства на (1 – x)² и применим к каждому множителю формулу сокращённого умножения (или, если угодно, формулу суммы геометрической прогрессии), получим:
(1 – x⁸) (1 – x⁶) = (1 – x⁷)².
Тут важно сразу отметить, что это уравнение не равносильно исходному, а отличается от него наличием лишнего корня x = 1, приобретённого в результате умножения обеих частей равенства на множитель (1 – x).
Последнее уравнение сводится к равенству
x⁶(1 – x)² = 0, имеющему корни 0 и 1. Но корень 1 — посторонний, ответ: x ∈ {0}.


Пример 3. Решить уравнение:
4 cos x cos 2x cos 3x = cos 6x.

Решение. Домножим обе части уравнения на sin x, сразу заметив, что корни уравнения sin x = 0 не являются корнями данного уравнения. Это означает, что из ответа, который мы получим, их придётся исключить.
После двукратного применения формулы синуса двойного угла уравнение примет вид:
sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.
Применив формулу произведения синуса и косинуса, придём к уравнению
sin 7x + sin x = sin 7x – sin 5x, или
sin x = sin (–5x).
Отсюда получим совокупность решений:
x = πn/3,
x = π/4 + πn/2.
Из первой серии решений осталось исключить корни уравнения sin x = 0, т.е. значения x = πk, k∈ℤ.
Окончательно получим:
x ∈ {± π/3 + πn; π/4 + πn/2 | n∈ℤ}.

Найдите значение выражения.

Задача 5. Теорема. Докажите, что существует ровно 5 типов правильных многогранников.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. В многограннике чёрные грани — правильные пятиугольники, а белые — правильные шестиугольники. В каждой вершине сходится по три грани. Сколько в этом многограннике чёрных граней?

Ответ: 12.

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. Внутри квадрата отметили n точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько провели отрезков и сколько получилось треугольников?
Ответ: 3n+1 отрезков, 2n+2 треугольников.

Используя формулу Эйлера В – Р + Г = 2, можно решить многие задачи.


Задача 1. В стране 30 озёр, соединённых между собой 40 каналами так, что от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?
Ответ: 11.

Знаменитая формула Эйлера для выпуклых многогранников:
В – Р + Г = 2,
где В — количество вершин многогранника, Р — количество его рёбер, а Г — граней.
Напомним возможную идею доказательства.
Будем склеивать наш многогранник из отдельных граней, на каждом шаге приклеивая (по смежным рёбрам) очередную грань к уже склеенным. Сначала возьмём одну из граней в качестве первой. У неё число вершин равно числу рёбер (В – Р = 0), число граней сейчас равно единице, так что на первом шаге имеем В – Р + Г = 1.
Теперь приклеим вторую грань по смежному ребру. Заметим, что число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер, поэтому разность В – Р уменьшилась на 1; однако число граней увеличилось на 1, так что после второго шага величина В – Р + Г снова равна 1.
На третьем шаге приклеиваем третью грань по смежным рёбрам. Ситуация повторяется: число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер (разность В – Р уменьшилась на 1), число Г увеличилось на 1, и потому В – Р + Г опять равно 1. Так будет продолжаться вплоть до последнего шага приклеивания последней грани многогранника. Последняя грань не добавит ни новых вершин, ни новых рёбер, но увеличит число Г на единицу. В итоге получим В – Р + Г = 2, что и требовалось.

Идея другого изящного доказательства состоит в построении стереографической проекции многогранника. Можно наглядно представить себе многогранник резиновым, причём одну грань у него вынули (открыли крышку). А затем развернули его на плоскости. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра, лежащие в плоскости, являются отрезками. При этом число вершин, рёбер и граней не изменится, если считать, что внешняя для полученного планарного графа часть плоскости соответствует удалённой грани.
Подсчитаем теперь сумму углов всех полученных многоугольников (считая и удалённую грань) двумя способами.
Сумма углов n-угольника равна π(n – 2). Сумма членов вида πn равна общему числу всех граней, т.е. 2Р, ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, получаем π (2Р – 2Г).
С другой стороны, легко видеть, что эта сумма равна 2π(В – 2). Приравнивая результаты и сокращая на 2π, получаем формулу Эйлера.

https://telegra.ph/Greko-latinskie-kvadraty-EHjlera-04-14

15 апреля 1707 г. родился Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории. Имя Эйлера упоминается во всех разделах современной математики: теории чисел, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов, анализе, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, гидродинамике, механике, теории упругости и проч. Он автор многих понятий, которые по тем или иным причинам связывают с именами других учёных; вот лишь два примера: дзета-функция Римана, гипергеометрический ряд Гаусса — это изобретения Эйлера.
С именем Эйлера связано первое использование обозначения f(x) для функции, буквы i для выражения мнимой единицы, греческой буквы Σ для записи суммы, греческой буквы Δ для обозначения конечных разностей, строчных букв для обозначения сторон треугольника при представлении углов заглавными буквами. Он дал текущее определение константы e, основания натурального логарифма, ныне известного как число Эйлера. Благодаря ему стало общеупотребимым обозначение числа π.
Эйлер считается едва ли не самым плодовитым математиком. По различным оценкам ему принадлежит более 800 названий научных работ, статей, книг, при этом прижизненных публикаций около 500; издание и переиздание его опубликованных и неопубликованных работ растянулось на столетия и далеко до своего завершения; полное собрание сочинений рассчитано более чем на 70 томов. Его рукописи хранятся в Библиотеке РАН в Санкт-Петербурге.
Покоится учёный в Лазаревском некрополе Александро-Невской Лавры СПб.

🌏 Каких цифр боятся в мире?

🐉 Например, в Китае боятся четверки. Она считается несчастливой, потому что звучит похоже на слово "смерть" (死, "сы").
⏺Фобия настолько сильная, что в некоторых здания нельзя найти четвёртый пронумерованный этаж. Номер дома и телефона с этой цифрой стараются избегать.

🇯🇵 В Японии также избегают числа 9, поскольку его произношение (九, "ку") созвучно со словом "страдание" (苦, "ку"). В некоторых больницах нет палат с этими номерами.

🇮🇹В Италии число 17 воспринимается как несчастливое из-за римского написания XVII. Перестановка этих символов может быть прочитана как VIXI, что на латыни значит "я жил", и наводит на мысли о смерти. В большинстве итальянских гостиниц отсутствуют номера с такой цифрой, в многих самолетах компании Alitalia нет 17 ряда.

🌍 Ну и вся Европа традиционно плохо относится к числу 13. Всё из-за числа апостолов. Как мы помним, 13 был лишним.

Сначала проголосуйте ⤴️

Решение задачи по ссылке.

Задача Гюйгенса о вращающемся шарике

Шарик массы m, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити, вращается по окружности в вертикальной плоскости. Какую минимальную силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы не оборваться?

«Мир — моя страна, наука — моя религия»

14 апреля 1629 г. родился Христиан Гюйгенс, голландский механик, математик, астроном. Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей.
Открыл кольца Сатурна и его спутник Титан.
Разработал волновую теорию света.
Является изобретателем маятниковых часов. Первым получил формулу для центростремительного ускорения: а = v²/R, для периода колебаний математического маятника: Т = 2π√(l/g). При этом так и не признал закон всемирного тяготения Ньютона, поскольку не допускал возможности действия сил на расстоянии.
Сконструировал двигатель внутреннего сгорания, в качестве топлива которого предполагал использовать порох, но так и не построил его.
Разработал теорию цепных дробей.
Разработал теорию эволют и эвольвент.
Нашёл квадратуры эллипса, гиперболы и круга.
Исследовал циклоиду и цепную линию.

Один довольно забавный результат, связанный с именем учёного, — скатерть Улама. Она была открыта математиком случайно. Однажды, в 1963 г., ему пришлось присутствовать на довольно скучном докладе, и, чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, решив заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д.
При этом он машинально отмечал все простые числа. И неожиданно оказалось, что они стали выстраиваться вдоль диагональных прямых.
Имеются разные вариации скатерти Улама. Например, в 1994 г. Роберт Сакс изобрёл вариант скатерти Улама, где числа расположены по архимедовой спирали.
Откуда берутся красивые паттерны из простых чисел при закручивании всех натуральных чисел по спирали?! Казалось бы, совершенно невероятный результат!
Однако ему есть довольно простое объяснение. Об этом хорошо рассказывает
Vert Dider и Математика с Надеждой.

«Во многих случаях математика — это бегство от реальности. Математик находит свою монашескую нишу и счастье в занятиях, которые не связаны с внешними делами»

«Важна не столько полезность теоремы, сколько её элегантность»

«Меня всё ещё удивляет, что несколько каракулей на доске или на листе бумаги могут изменить ход человеческих дел».

13 апреля 1909 г. родился Станислав Улам, польский и американский математик. Один из создателей термоядерной бомбы в США. Выдвинул теорию ядерного ракетного двигателя. Открыл концепцию клеточного автомата. Доказал ряд теорем и выдвинул несколько гипотез в чистой и прикладной математике.

Улам разработал численный метод Монте-Карло. Идея метода пришла ему, когда он раскладывал пасьянс Кэнфилд и задумался, какова вероятность того, что пасьянс сойдётся. Комбинаторике эта задача не поддавалась, и он решил взять да и провести, скажем, сотню экспериментов и прямо подсчитать долю успехов.
А после пасьянса учёный перешёл к тому, чем его мозг был занят на работе, — к задаче рассеивания нейтронов на ядрах. Улам сообразил, что его подход даст решение сложного дифференциального уравнения, только нужно представить его в виде случайного процесса.
Суть метода Монте-Карло проще всего пояснить на примере вычисления площади. Как вычислить площадь какой-нибудь замысловатой фигуры, нарисованной на прямоугольном листе бумаги? Равномерно напуляем на этот лист случайных точек. Теперь подсчитаем количество точек внутри фигуры и вообще всех точек, попавших в прямоугольник. Отношение этих чисел и даст приближённо отношение площадей.
Улам назвал метод таким странным образом, поскольку часто вспоминал своего дядю, который регулярно ездил в Монте-Карло играть в азартные игры.

«Не имеет значения, кто первый приходит к идее, важнее — как далеко эта идея может зайти»

«Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — фигурная алгебра»

В апреле 1776 г. родилась Софи Жермен, французский математик, внесшая значительный вклад в дифференциальную геометрию, механику и теорию чисел.
Софи состояла в переписке с д’Аламбером, Фурье, Лагранжем и Гауссом, скрываясь под мужским именем «месье Ле Блан». Лагранж был под таким впечатлением от её статей, что попросил у Ле Блана встречи, и Жермен пришлось открыть ему свою личность.
Софи была первой женщиной, принятой на курсы Академии Наук.

В теории чисел простое число p называют простым числом Софи Жермен, если 2p+1 также является простым. Например, 29 — простое число Софи Жермен, т.к. 2 ∙ 29 + 1 = 59 — простое число. Сама Жермен использовала такие числа в попытках доказать Великую теорему Ферма. Она вывела результат, ныне известный как теорема Жермен, который гласит, что если p нечётное простое число и 2p + 1 также простое число, то p должно делить x, y или z. В противном случае, xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ. Сегодня эти числа находят большое применение в криптографии. Пока не доказано, что чисел Софи Жермен бесконечно много.

Софи Жермен первая доказала, что разложить на множители можно не только разность квадратов, но и сумму квадратов. Известна школьная задачка, носящая её имя: доказать, что n⁴+4 является составным числом (при n≠1). Доказательство:
n⁴+4 = n⁴+4n²+ 4 – 4n² =
= (n²+2)² – (2n)² =
= (n²–2n +2) (n²+2n +2).
Таким образом, данное выражение представлено в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых больше 1, а значит, не является простым.

Наш подписчик математик Leonid Koganov предложил более сложный путь доказательства, основанный на использовании комплексных чисел, связав эту задачу с задачей вычисления интеграла Лейбница.

Число 10958, или задача Танежи

Бразильский популяризатор математики Индер Танежа потратил годы на решение двух задач:

1) Представление натуральных чисел до 5000 с помощью одной цифры (от 1 до 9) и арифметических действий, скобок и операции конкатенации («склеивания» цифр в одно число). Разновидностью этой задачи была запись всех чисел, не зависящая от того, какая цифра используется.

2) Представление натуральных чисел до 11111 с использованием упорядоченной записи всех цифр кроме нуля и тех же операций (арифметических действий и конкатенации цифр) — в порядке возрастания и в порядке убывания.

К удивлению, во второй задаче осталось одно белое пятно: число 10958 не удалось представить в возрастающей последовательности цифр.
Пишут, что за решение этой задачи Массачусетский технологический институт готов выплатить $5000.

А есть ли вообще какой-то смысл в решении этой задачи?
Сам Индер Танежа никогда не брался за решение великих математических проблем. Однако нередко случается так, что следствия из теорем, доказательство которых было необходимо для решения некоторой частной задачи, оказываются важнее самой этой задачи. Так было, например, с формальным обоснованием невозможности построения квадратуры круга циркулем и линейкой, с малой проблемой Гольдбаха и рядом других математических проблем. Так произошло и в этот раз. Постановка задачи о представлении натуральных чисел при помощи данных операций над некоторым начальным вектором подарила миру не только красивые частные решения и загадочную константу 10958, но и особый подход к классификации трансцендентных чисел относительно замыкания конечных множеств алгебраических чисел. В частности, доказано, что радикальные числа имеют ненулевое пересечение с множеством алгебраических чисел, но не входят в последнее полностью. Проблема числа 10958 стала основой для формирования отдельной математической теории — теории конечно-трансцендентных чисел и частью нового математического аппарата в программировании и алгебраической топологии.

На рисунке изображены пять квадратов и зелёный треугольник. Площадь синего квадрата равна 1. Найдите площадь треугольника.
Ответ: 1.

Внутри выпуклого четырёхугольника дана точка. Её соединили отрезками с серединами сторон четырёхугольника. Образовалось четыре четырёхугольника. Площади трёх из них заданы: a, b и c. Найдите площадь s четвёртого четырёхугольника.
Ответ: s = a + c – b.

Три квадрата расположены в квадрате. Докажите, что площадь зелёного квадрата равна сумме площадей синих.

Квадрат разбит на четыре треугольника. Площади трёх из них обозначены на рисунке. Определите площадь зелёного треугольника.
Ответ: 7.

На рисунке два квадрата, сторона синего равна 2. Найдите площадь зелёного треугольника.
Ответ: 2.

Шутки Бэкона: можно подтвердить, что смешная

Шутки Поппера: принципиально могут оказаться несмешными в каком-то из миров

Шутки Гёделя: какую ни придумай, всегда найдётся ещё смешнее

Шутки Банаха-Тарского: из одной можно сделать две точно такие же

Шутки Гудстейна: рано или поздно становится не до смеху

Шутки Шрёдингера: смешные и несмешные одновременно

Шутки Фибоначчи: каждая новая такая же смешная, как две предыдущие вместе взятые

Математический лимерик

Ли́мерик — это стихотворный жанр английского происхождения в форме пятистишия, основанный на обыгрывании бессмыслицы. Чаще всего лимерик написан анапестом (1-я, 2-я и 5-я строки — трёхстопным, 3-я и 4-я — двухстопным), рифма ААВВА.
Например, такие (описывающие примеры на картинках) математические лимерики:

A dozen, a gross, and a score
Plus three times the square root of four
Divided by seven
Plus five times eleven
Is nine squared and not a bit more

Integral z-squared dz
From one to the cube root of three
Times the cosine
of three pi over nine
Equals log of the cube root of e

Есть немало русскоязычных лимериков за разным авторством. Часто довольно хулиганских. Извините.

Жил в Москве математик крутой,
Разделил как-то десять на ноль!
А когда умирал он,
Никому не сказал он,
Как делить можно числа на ноль.

Говорят, математик Лаплас
как-то раз оппоненту дал в глаз.
А потом и в другой,
а потом и ногой
ещё икс в энной степени раз.

Был большим драчуном Роберт Гук —
Страшной силы имел правый хук,
Но его били скопом:
Галилей — телескопом,
Микроскопом — Антон Левенгук.

Сочинил математик Ферма
Теорему, крутую весьма,
Только не доказал.
«Не дурак я, — сказал, —
Вам доказывать всё задарма!»

Один толстый юрист из Тулузы
Многословен бывал до конфуза:
"Тра-ля-ля, тополя..." -
По печатным полям
Рассыпал интегралы и плюсы.

Натуральный философ Ньютон
Часто хаживал в местный притон —
Притяжение тел
Изучить там хотел.
Он вообще был большой моветон.

На уроке решали задачу,
вдруг Коши закричал, чуть не плача:
«Вы скажите, месье,
каков путь был в нуле
и начальная скорость в придачу!»

Факт такой отмечал Галилей:
Те, что в трюмах плывут кораблей,
Как и те, что в порту,
С бодуна, поутру,
Одинаково просят: «Налей!»

По преданию, грек Гераклит
Очень долго лечил свой колит,
А когда излечил,
Тут же на фиг почил.
Или, кажется, то был Эвклид.

Выдающийся оптик Френель
Как-то влез на высокую ель
И кричал с этой ели:
«Люди! Кольца Френеля
Очень ясно мне видно отсель!»

Говорят, как-то раз физик Ом
Спьяну сунул два пальца в разъём
И такие количества
Он провёл электричества,
Что закон назван в память о нём.

Как-то старого Планка из Киля
Об интимном процессе спросили.
— Что сказать... частота
Уж, конечно, не та,
Но энергия — как в гамадриле!

Эрвин Шрёдингер, физик из Вены
Безуспешно решал многочлены.
В уравненье тогда
Он подставил кота —
И задачка сложилась мгновенно!

Математики братья Бернулли
Год работали, глаз не сомкнули,
А потом разболтали
Это все Лопиталю,
И весь труд у них враз умыкнули.

«Что такое свободная группа?»
— за тарелкою вкусного супа
вопрошал Ляпунов.
«Это так, набор слов»
— отвечал ученик, хмурясь тупо.

Математик седой Фибоначчи
Свою жизнь и не мыслил иначе:
3 кота, в 5 обед,
8-летний сосед,
И 13 ремонтов на даче.

Как-то Тейлор с Лагранжем поспорили,
кто из них внёс вклад больший в теорию:
«Мой остаточный член!»
«Зато мой многочлен!»
Хрен поймёшь чего в этой истории.

Старый анекдот о Рене Декарте. Заходит как-то раз Декарт в бар и заказывает пиво. Выпил, а бармен спрашивает, не желает ли месье добавки. "Не думаю", — отвечает Рене… и исчезает.

Пояснение для тех, кто, вдруг, не понял шутку. Аллюзия к «Cogito, ergo sum» сама по себе не делает её особо смешной. Суть в том, что шутка логически ошибочна, потому что её концовка является обратной по отношению к исходному утверждению, а обратное по отношению к исходному утверждение не является логически эквивалентным ему.
Эквивалентным Декартовой философеме служит довольно банальное утверждение–контрапозиция: «Не существую, следовательно, не думаю».

Декартовская философия явилась революционным переворотом в философии Нового времени. В основе философии Декарта лежит его метод сомнения, радикальная форма скептицизма, служившая основой его эпистемологических исследований. Другим краеугольным камнем философии Декарта является его теория дуализма разума и тела, которая утверждает, что разум и тело фундаментально различны. С точки зрения Декарта, разум — это нефизическая сущность, сфера сознания и мысли, тогда как тело — это физическая машина, подчиняющаяся законам физики. Также Декарт внёс значительный вклад в теорию познания, особенно сделав акцент на разуме как пути к истинному пониманию. Рационализм Декарта заложил основу Просвещения, вдохновив переход к научным исследованиям как основе познания.
Картезианское мышление стало методологической основой системы образования. Под влиянием философии Декарта общество выработало новые нормы поведения, которые ушли в подсознание современной культуры. Его философия повлияла на становление и развитие художественной системы классицизма; основное требование классицизма — подчинение искусства разуму — выразилось в максимальном стремлении к нормативности в искусстве и выражении разумной закономерности мира. Без преувеличения можно сказать, что Декарт создал новый тип культуры, основанный на рационализации и логическом умозаключении.


А. Городницкий. Система Декарта

Давайте отложим вчерашние планы до нового марта, —
Дожди, бездорожье и рыжее пламя в системе Декарта.
И в небе над бором срываются звезды с привычного круга.
«В осеннюю пору любить уже поздно», — вздыхает подруга.

Забудем про бремя мальчишеской прыти, в леса эти канув.
Кончается время веселых открытий и новых романов.
Поймёшь поутру, поразмысливши мудро, что крыть уже нечем,
И даже когда начинается утро, то всё-таки вечер.

Храните от боли усталые нервы, не слушайте бредни
Об этой любови, что кажется первой, а стала последней.
Сырой и тревожной для леса и поля порой облетанья
Менять невозможно по собственной воле среду обитанья.

Но жизнь и такая мила и желанна, замечу я робко,
Пока привлекают пустая поляна и полная стопка.
Пока мы под сердцем любовь эту носим, всё ставя на карту,
И тихое скерцо пиликает осень в системе Декарта.


И. Крюков. ***

Слежится, слижется, сомлеет,
как послемасленичный снег,
моё вчерашнее сомненье,
в том, что помыслив, не изрек.

И март, заявленный на карте
вин, дозволяемых Постом,
тотчас напомнит о Декарте
— столь же прозрачном и... пустом.

Велик соблазн картезианства!
Блажен, кто смуту превозмог
и понял, что живёт в пространстве
заполненном, а рядом — Бог.

Но всё ж с познанием до точки
ты сопоставить поспеши
врождённость тополиной почки
и неевклидовость души.

Сумей услышать в птичьем гвалте
мелодию небесных сфер
— и вместо Марта выйдет — Мартин,
взамен Декарта — Хайдеггер.

«Геометрия и алгебра, соединённые вместе, дают нам ключ к пониманию пространственных явлений через числа и уравнения»

31 марта 1596 г. родился Рене Декарт, французский философ, математик , механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.
Декарт изобрёл прямоугольную систему координат, сыгравшую важную роль в совершенствовании математики и физики (по легенде он придумал её в постели, наблюдая, как по потолку и по стене ползает паук). Введение системы координат позволяет перевести геометрические задачи на алгебраический язык и тем самым существенно упрощает их исследование и решение. Декарт также переработал математическую символику Виета — с этого момента она стала близка к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c..., а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль). Внимание математиков стало переключаться с изучения числовых величин на изучение зависимостей между ними — в современной терминологии, функций.

Достоверно известно, что Декарт спал по 10 − 12 часов в сутки и даже работал, лёжа в постели. (Отсюда, видимо, и легенда о наблюдении за ползающим пауком.) Ещё одна не доказанная история касается нумерации кресел в парижских театрах. В те годы места в ложах пронумерованы не были, отчего перед спектаклями часто возникали ссоры, переходящие в дуэли. Людовик XIII, уставший от бессмысленного кровопролития среди подданных, обратился к математику с просьбой решить проблему. И тот якобы придумал систему мест и рядов, где каждое кресло имело свои «координаты». Идея быстро прижилась, и число дуэлей вскоре сократилось.

Можно ли трёхмерный шар разделить на конечное число каких-нибудь частей, из которых затем сложить два точно таких же шара?

Оказывается, в теории множеств с аксиомой выбора, математический (т.е. бесконечно делимый) шар в трёхмерном пространстве можно разделить на 5 частей так, что, двигая и поворачивая эти части в пространстве, из них можно собрать ДВА шара, равных исходному. Это интересное утверждение, известное как парадокс Банаха–Тарского, иллюстрирует пределы человеческой интуиции и показывает, что можно получить если пытаться оперировать с таким понятием как бесконечность.
Подробнее об этом в заметке, посвящённой теореме Банаха–Тарского.

Чтобы никто не волновался, стоит упомянуть, что к практическим приложениям (например, удвоению ВВП) этот результат неприменим, поскольку условие бесконечной делимости, согласно современным физическим представлениям, невыполнимо. А сами части, на которые делится шар, не имеют объёма, т.е. являются неизмеримыми множествами.

С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:
Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым. Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым. Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5. Получаем:
Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ.

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»

30 марта 1892 г. родился Стефан Банах, польский математик, один из создателей функционального анализа. Ввёл понятие полных линейных нормированных пространств (теперь их называют банаховыми пространствами), которые нашли применение в различных областях математического анализа, а также доказал ряд фундаментальных теорем. Банах занимался также ортогональными рядами, внёс вклад в разработку теории меры и интегрирования.

Львовские математики, во главе со Стефаном Банахом, собирались в кафе «Шкотская Кавьярня» (Шотландское кафе). На мраморном столике кафе решались математические задачи при попутном употреблении алкогольных напитков разной степени крепости. По-видимому, решение задач на столах кафе было общей физико-математической тенденцией первой половины ХХ в.
Рассказывают, процесс происходил так: кто-то предлагал задачу, а Банах её решал. Если Банаху не удавалось решить задачу сразу, её заносили в тетрадь и назначали премию (от 5 кружек пива за простые задачи, до жареного гуся за самую сложную). Чаще всего, однако, задача не добиралась до тетради, будучи решённой Банахом устно. При этом процесс решения Стефан сопровождал употреблением двух напитков — водки и кофе — по очереди.

Во время немецкой оккупации, чтобы прожить, Банах сдавал кровь для бактериологических экспериментов на медицинском факультете Львовского университета, что подорвало его здоровье гораздо сильнее, чем водка и кофе. После освобождения Львова он едва ли прожил год (умер в августе 1945).

А вот «Шкотская тетрадь», в которую записывали задачи, дошла до нас, была опубликована С. Уламом уже после войны. В частности, задачу стоимостью в жареного гуся удалось решить только в 1972 г. И шведский математик П. Энфло, решивший её, получил-таки в Варшаве своего жареного гуся в награду!

Сегодня хотим познакомить вас с гуманитарным отделением летней школы «Лес»!

✍️Кого набирает отделение?
Школьников 14–18 лет, интересующихся лингвистикой, филологией, историей искусства и другими гуманитарными науками. Вам нравится театр или комиксы? Грамматика жестовых языков или культура Камбоджи? А может, всё сразу? Тогда вам сюда🙂

📚Что вас ждёт на школе?
В нашей многопредметной программе каждый найдет что-то своё: в один день можно сначала позаниматься армянской фонетикой, потом архитектурой, сходить между делом на занятия математиков или биологов, а вечер провести за танцами, «Что? Где? Когда?», игрой в шляпу или песнями на всевозможных языках, живых и мёртвых. А ещё несколько раз за школу мы съездим на экскурсии и познакомимся с достопримечательностями Армении.

🧑‍🎓Кто преподаёт в «Лесу»?
Преподаватели гуманитарного отделения «Леса» — выпускники и студенты ведущих российских и зарубежных вузов, выпускники ШЮФа и Школы славистики МГУ, преподаватели Сириуса и Летней лингвистической школы, многие из которых сами занимаются научными исследованиями. Для нас важно дружелюбное и открытое пространство, где можно свободно обмениваться знаниями и идеями. И если для интересной дискуссии не хватит времени на лекции, обсуждение всегда можно продолжить, стоя в очереди за супом или поедая печеньки у костра.

🗓Когда? 
С 4 по 28 августа 2025 года.

🏕️Где?
В Армении, в живописных горах недалеко от Гюмри. Живём в палатках на территории кемпинга.

🌐 Узнать больше о школе и подать заявку можно на нашем сайте и в соцсетях: 
https://forest-school.am/
https://t.me/forest_school_am
https://vk.com/forest_school_am

По всем вопросам можно писать координатору набора ― мы будем рады рассказать о школе больше!

До встречи в «Лесу»!

PR-пост

Дорогие подписчики, если у вас есть что-то интересное, прикольное (совсем необязательно имеющее отношение к математике) или вы хотите рассказать о своём канале, который начали бережно растить, то добро пожаловать в комментарии.

Делитесь всем талантливым и креативным.

27 марта 1857 г. родился Карл Пирсон, британский математик, основатель современной статистики. Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров. С его именем связаны такие широко используемые термины и методы, как: гистограмма, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, коэффициенты корреляции и ковариации, метод моментов, критерий хи-квадрат, множественная регрессия. Методы Пирсона имеют предельно общий характер и применяются практически во всех естественных науках.

При этом Пирсон был одним из главных теоретиков расизма, основоположником биометрики, проповедником социального дарвинизма и евгеники.
Понятие евгеники ввёл антрополог Фрэнсис Гальтон, понимая под ним «науку, занимающуюся всеми факторами, улучшающими врождённые качества расы». Пирсон повернул евгенику в русло патриотизма. По его мнению, задача евгеники — заниматься не отдельными людьми, а целыми нациями. Государство имеет право определять, кто может иметь детей, а кто нет.
Пирсон рассматривал войну против «низших рас» как логическое следствие теории эволюции. «Мой взгляд — и я думаю, его можно назвать научным взглядом на нацию, — писал он, — это взгляд на организованное целое, поддерживаемое на высоком уровне внутренней эффективности за счёт обеспечения того, чтобы его численность в основном набиралась из лучших кадров, и поддерживаемое на высоком уровне внешней эффективности за счёт конкуренции, главным образом путем войны с низшими расами». «Право жить ещё не означает право каждого на продолжение своего рода. Снижается качество естественного отбора, и это значит, что выживает всё больше слабых и никчёмных. А мы должны повышать стандарт происхождения, умственный и физический».

В общем, увы, очень большой математик не обязательно является очень большим человеком…

Вот типичный пример задачи Эрдёша (на $500) — задача о расходимости, поставленная им в 1932 г.
Представьте, что вы стоите на первом этаже башни, бесконечно уходящей ввысь и вглубь. Каждую минуту приходит лифт, который может отвезти вас на один этаж вверх или вниз — направления движения лифтов заранее известны, но вам неподвластны. Допустим, вы хотите убраться как можно дальше от поверхности, скажем, на С этажей — не важно, в каком направлении. По правилам, вы можете выбрать любое число n, и входить в каждый n-й приходящий лифт. Можно ли выбрать такое n и такое k, что через k поездок вы уедете как минимум на C этажей (как уже говорилось, в любом направлении) от первоначального?
Задача, поставленная Эрдёшем: выяснить, будет ли такая последовательность всегда содержать шаблоны и некую структуру внутри случайности.
В 2014 г. сотрудники Ливерпульского университета российского происхождения Алексей Лисица и Борис Конев нашли положительный ответ на вопрос Эрдёша, если C = 2. Их доказательство получено с активным использованием компьютера, а файл данных занимает 13 Гб. (Для сравнения: всё содержание Википедии на тот момент занимало объём меньше 10 Гб). Несомненно, это одно из самых длинных доказательств в истории математики, слишком длинное, чтобы человеческий разум мог самостоятельно его проверить.
В 2015 г. австралиец Теренс Тао сумел показать, что достаточно проверить условия задачи только для последовательностей специального вида: тех, у которых на позициях с простыми номерами стоят произвольно +1 или −1, а на любой позиции с номером ab стоят произведения членов последовательности с номером a и с номером b (последовательности, описываемые таким свойством, называются мультипликативными). В контексте гипотезы Эрдёша, мультипликативные последовательности обладают замечательным свойством: если выбрать какое-то n и брать каждый n-й член последовательности, получится последовательность либо в точности совпадающая с исходной, либо отличающаяся от нее умножением на −1. Это, в свою очередь значит, что если лифты увозили вас далеко от поверхности без всяких пропусков, то то же самое будет выполняться для поездок с любыми регулярными пропусками. Именно благодаря этой особенности, достаточно доказывать гипотезу Эрдёша только для них — такой вывод Тао смог сделать с помощью широко используемого в теории чисел преобразования Фурье. Тао удалось продемонстрировать, что мультипликативных последовательностей, для которых любые регулярные последовательности поездок на лифтах оставляют тебя где-то неподалеку от поверхности, не бывает. В противном случае, их энтропия (в математическом смысле) со временем оказывалась бы отрицательной. А это невозможно.
Доказательство Теренса Тао, конечно, отнюдь не элементарно, но оно гораздо лучше компьютерного алгоритма, проверить который человеку не представляется возможным.

«Another roof, another proof (Ещё одна крыша — ещё одно доказательство)»

26 марта 1913 г. родился Пал Эрдёш, один из самых плодовитых математиков и авторов математических гипотез 20 в. Он считал, что математика — это социальная деятельность, и вёл кочевой образ жизни с единственной целью — писать математические статьи вместе с другими математиками. Эрдёш посвящал математике всё своё свободное время, даже в преклонном возрасте.
Умер от сердечного приступа на математической конференции в 1996 г. в Варшаве (в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция), почти в полном соответствии со своим пожеланием. Однажды он сказал: «Я хочу читать лекцию, заканчивая важное доказательство на доске, когда кто-то из аудитории выкрикнет: “А как насчёт общего случая?” Я повернусь к аудитории и улыбнусь: “Это я оставлю следующему поколению”, — а потом упаду в обморок».
Всю свою жизнь Эрдёш вёл жизнь «странствующего математика»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было более 1500. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).
Эрдёш считал, что постановка математических задач так же важна, как и их решение. Он часто публиковал новые задачи и предлагал денежные награды за их решение. За свою жизнь он предложил награды за сотни придуманных им же задач. Величина призов варьировалась от $25 до нескольких тысяч, в зависимости от того, как он оценивал сложность задачи.
В настоящее время за решение задачи из Списка Эрдёша также можно получить премию из фонда Эрдёша, руководимого калифорнийским математиком Р. Грэхемом.

Несмотря на то что Э. Нётер имела общепризнанные научные заслуги, она долгое время не могла получить звание приват-доцента. Основным формальным поводом для отказов была её принадлежность к женскому полу. Когда на заседаниях Гёттингенского университета, где она тогда преподавала, обсуждался этот вопрос, кто-нибудь непременно заявлял:
— Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Ведь став приват-доцентом, она может стать и профессором, и членом университетского сената! Позволительно ли женщине войти в сенат?
Однажды на таком заседании присутствовал Давид Гильберт. Выслушав такую возмущённую тираду, он ответил:
— Ах, господа, сенат не бани! Почему же женщина не может туда войти?!

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР, неоднократно приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете. Когда в 1933 г. в Германии из Гёттингенского университета уволили всех преподавателей «не арийского» происхождения, она собиралась переехать в Советский Союз, а П.С. Александров добивался, чтобы её взяли на работу в МГУ. Но пока шла бюрократическая волокита, Нётер благодаря фонду Рокфеллера получила приглашение из США — и приняла его. А вот её брат Фриц, когда из-за еврейского происхождения потерял работу в Германии, был приглашён преподавать в Томский университет. Однако в 1938-м его объявили немецким шпионом и осудили на 25 лет лагерей. Не помогло даже ходатайство Эйнштейна, который писал наркому иностранных дел М. Литвинову. В 1941-м приговор Ф. Нётеру, как и многим другим осуждённым немцам, заменили на смертную казнь и расстреляли в тюрьме для политзаключённых.

23 марта 1882 г. родилась Амалия Эмми Нётер, выдающийся немецкий математик.
Нётер произвела революцию в физике — она открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения. Теорема Нётер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат в инерциальной системе отсчёта, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (инвариант). Поскольку рассматриваемое преобразование тесно связано со своей симметрией пространства и времени (однородного пространства, изотропного пространства и однородности времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать в соответствии с классической механикой свой определённый закон сохранения. С однородностью пространства, т.е. симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, т.е. с равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса. Представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Практическое значение теоремы Э. Нётер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу. При наличии в физической системе симметрии другого рода, например, динамической (математической), данные симметрии прогнозируют частные законы сохранения, которые также обладают функцией запрета на локальные явления саморазвития.
Теорема Нётер имеет глубокий эвристический смысл. Если в рассматриваемой физической системе имеется сохраняющаяся величина, описывающая определённые свойства системы, то должна существовать и группа преобразований, не меняющая эту систему. Если же обнаружена инвариантность физической системы при каких-то преобразованиях, то ей соответствует сохранение определённой физической величины.
Ещё Нётер создала новое направление в алгебре — т.н. общую, или абстрактную алгебру. Она получила фундаментальные результаты в алгебраической геометрии, теории колец и идеалов.

21 марта 1907 г. родилась Елена Сергеевна Вентцель (Долгинцева), специалист и автор известных учебников и задачников по теории вероятностей и исследованию операций, а также талантливый писатель (литературный псевдоним И.Грекова: от игрек — «неизвестная, которую нужно вычислить»).

Долгие годы Е.С. преподавала в академии им. Жуковского вместе со своим мужем, генералом-майором авиации. Однажды, спеша на лекцию, она пыталась втиснуться в переполненный дачный автобус.
— Поймите, я опаздываю на лекцию! Я профессор математики! — взывала она к совести водителя и пассажиров. — Если я сейчас не уеду, то лекция будет сорвана. — Всё было напрасно.
— Я — генеральша! — в отчаянии крикнула она, исчерпав все аргументы.
Двери автобуса тут же отворились.

В непринуждённой обстановке Е.С. однажды вспомнила о бдительном редактировании своего первого задачника. В нескольких задачах речь шла о выявлении случайного брака при массовом производстве технической продукции, отпускаемой с завода большими партиями. Задача завершалась вопросом: Какова вероятность того, что партия будет забракована?
Цензор предложил изъять столь опасную двусмысленность и согласился с противоположной:
Какова вероятность того, что партия НЕ будет забракована?

Задача из учебного пособия Е.С. Вентцель.
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:
1) три партии из четырёх или пять из восьми?
2) не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми?
Ответ: 1) три из четырёх; 2) не менее пяти из восьми.

Благодаря трудам Фурье и Лапласа мы имеем сегодня очень мощный метод математического исследования функций — операционное исчисление, ему была посвящена заметка.


Волна идёт, дрожит, звенит,
Но скрыт её глубинный вид.
И лишь Фурье, расчёт ведя,
Звук раздробил, как трель дождя.

Он ритмы в спектры разложил,
Чтоб мир структурой говорил —
В движеньи ветра, в свете дня
Живёт невидимая связь.

Лаплас же тайны бытия
В потоке времени тая,
Пространство в образы скрепил,
Перенеся их в новый мир.

Один постиг частотный строй,
Другой связал пространство с мглой.
И в их трудах, как ясный след,
Наш мир обрёл порядок и ответ.
(ЧатGPT)

23 марта 1749 г. родился Пьер Симон де Лаплас.
21 марта 1768 г. родился Жан Батист Жозеф Фурье.
Оба учёных оказали огромное влияние на развитие научных представлений в целом и математики в особенности, разработали методы математической физики, широко используемые и в наше время.
Оба учёных жили во времена Французской революции, последовавшей за ней якобинской диктатуры и империи Наполеона. Во время власти якобинцев Лаплас, не лишённый политического чутья и холодного расчёта, когда Академия наук в числе всех королевских учреждений была упразднена, был лишь уволен из Комиссии по мерам и весам из-за «недостаточности республиканских добродетелей и слишком слабой ненависти к королям».
Фурье в этот период за свои обличительные речи был арестован и должен был быть гильотинирован, но избежал смерти лишь по счастливой случайности. (К слову сказать, так повезло далеко не всем учёным. Террор, развязанный якобинцами, затронул многих академиков. В частности, были казнены астрономы Жан Байи и Бошар де Сарон, естествоиспытатель Антуан Лавуазье, философ и математик Николя де Кондорсе.)

Фурье о Лапласе: «Лаплас был рождён для того, чтобы всё усовершенствовать, всё углубить, раздвинуть все границы, разрешить то, что считалось неразрешимым. Если бы астрономию можно было закончить, Лаплас бы её закончил».

Однажды Лапласу пришлось участвовать в выборах кандидата на пост непременного секретаря секции математики Французской академии.
Кандидатов было два: Фурье и Био.
Все интересовались: за кого проголосует Лаплас?
Лаплас удивил своих коллег.
Он написал два бюллетеня, бросил их в шляпу, не глядя вынул один и опустил в урну. "Отдать мой голос я предоставляю случаю!" — торжественно сказал он.
И только один из соседей Лапласа лукаво улыбался: он случайно подглядел, что, не доверяя случаю, на обоих бюллетенях Лаплас написал имя Фурье…

Я задумал натуральное число от 1 до 2025 и готов честно отвечать на такие ваши вопросы, которые допускают только ответ «да» или «нет». Сколько потребуется вопросов, чтобы гарантированно угадать задуманное число?
В этой простой задаче ответ 11, а вопросы, с помощью которых можно узнать ответ, могут звучать так: «Верно ли, что загаданное число больше такого-то?»
А. Реньи на основе этой задачи поставил другую — более сложную и содержательную. Требуется понять, как и за какое количество вопросов можно угадать задуманное число, если в одном (а если — в двух, в k?) ответах я могу ошибиться (сказать неправду).
О решении этой задачи рассказано в статье Константина Кнопа.
Данная задача родственна задачам теории кодирования Хэмминга, в которых требуется не только обнаруживать ошибки кодирования, но и исправлять их.

«Если я чувствую себя несчастным, я занимаюсь математикой, чтобы стать счастливым. Если я счастлив, я занимаюсь математикой, чтобы оставаться счастливым»

«Математик — это устройство для превращения кофе в теоремы»

20 марта 1921 г. родился Альфред Реньи, знаменитый венгерский математик. Основные работы по теории вероятностей, теории чисел, теории информации, комбинаторике и теории графов.
Реньи — автор прекрасных научно-популярных работ. Большой популярностью пользуются его научно-популярные книги, переведенные на русский язык: «Диалоги о математике», «Письма о вероятности», «Трилогия о математике».
Книги Реньи затрагивают темы философии математики: что такое математика и что она изучает? Как математика связана с действительностью? Как возникают математические понятия? Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникать в суть явлений глубже и точнее, чем непосредственное наблюдение и экспериментальное изучение? Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития как самой математики, так и ее применений к проблемам реальной жизни?
Литературная форма каждого из этих произведений различна: диалоги, письма, дневник, статья, но един литературный талант автора, который захватывает читателя. Каждое из произведений Реньи касается не частных задач той или иной области математики, а её принципиальных вопросов, ставит и достаточно глубоко освещает проблемы большого методологического значения.
Эти книги не для тех, кто хочет получить быстрые ответы, а для тех, кто хочет глубоко погрузиться в смысл поставленных вопросов.

Задача. В тёмной комнате вам дают колоду из 52 карт. 13 карт из них перевёрнуты рубашкой вниз и распределены случайным образом в колоде. Ваша задача разделить карты на две стопки, таким образом, чтобы в каждой стопке лежало одинаковое количество карт рубашкой вверх. Карты можно переворачивать.

Задача. В линию выложены игральные карты. Каждая из них либо чёрной, либо красной масти. Вы можете разделить карты на две части, проведя линию между какими-либо соседними картами (или перед картами, или за картами — одна из частей может содержать 0 карт).
Независимо от того, сколько карт перед вами и какие они, можете ли вы всегда разделить их на две части так, чтобы количество чёрных карт в левой части было точно таким же, как количество красных карт в правой?
На рисунке приведён пример, удовлетворяющий условию.

Цена чекушки в степени цены поллитровки – это, конечно, факт курьёзный, но не серьёзный. А вот что вы думаете по поводу приближённого равенства π² ≈ g (м/с² – ускорение свободного падения)?
Об этом – в статье на Хабре.

https://proza.ru/2021/07/03/1352

Числом Серпинского в теории чисел называют нечётное натуральное число k такое, что для любого натурального n число k·2ⁿ+1 является составным.
Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность 3·2ⁿ+1 , то в ней регулярно будут встречаться простые числа; и на самом деле довольно неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности k·2ⁿ+1 никогда не встретится простое число.
Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число k·2ⁿ+1 является простым.
Первым известным числом Серпинского является 78 557; в 1962 г. было доказано, что число 78 557·2ⁿ+1 делится по крайней мере на одно число из покрывающего множества {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.
Вторым известным числом Серпинского является 271 129: также доказано, что 271 129·2ⁿ+1 делится хотя бы на одно число из множества {3, 5, 7, 13, 17, 241}.
Но при этом пока не доказано, что 78 557 — наименьшее число Серпинского! Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского. Сейчас осталось пять таких чисел, которые, возможно, опровергнут гипотезу, что 78 557 — наименьшее число Серпинского: это — 21 181, 22 699, 24 737, 55 459 и 67 607.
До недавнего времени таким числом было ещё 10 223, но в 2016 г. участники краудфандингового научного проекта PrimeGrid отчитались о находке очередного простого числа. Им стало число
10223·2³¹¹⁷²¹⁶⁵+1,
содержащее в себе более девяти миллионов знаков.

14 марта 1882 г. родился Вацлав Франциск Серпинский — польский математик, известный своими трудами по теории множеств, (исследовании аксиомы выбора и континуум–гипотезы), теории чисел, теории функций, топологии.
В его честь названы три известных фрактала — ковёр Серпинского, треугольник Серпинского и кривая Серпинского. Он дал ещё несколько парадоксальных результатов: например, построил пример замкнутой кривой, заполняющей квадрат; дал пример плоского множества, которое раскладывается на два подмножества без общих точек и конгруэнтно каждому из них.

Задача. Дана окружность с центром О и точка А на ней. Случайным образом внутри окружности выбираем точку В. Какова вероятность того, что все три точки О, А и В лежат на двух соседних сторонах некоторого квадрата?
Ответ: 0,75.

Ответ: R = √2.

Об уравнении ∛F(х) + ∛G(х) = H(х)

Для решения уравнения данного вида предлагается следующий приём. Возведём обе части уравнения в куб, используя формулу
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)…

.

https://yandex.ru/video/preview/9714975200363832113


Верно ли это решение?

С фигурой Лиссажу связана довольно любопытная иллюзия, созданная программистом из Техаса Фрэнком Форсом: совершенно непонятно, в каком направлении вращается то, что вы видите — справа налево или слева направо, сверху вниз или снизу вверх.

Фигуры пляшут Лиссажу—
В них красоту я нахожу.
То завиток, то узкий круг,
То плавных линий нежный звук.

Как нити ветра в вышине,
Они танцуют в тишине.
Чуть сдвинешь фазы — и опять
Узор начнёт себя менять.

В них скрыты музыка и свет,
Природы тайный силуэт.
Узор сплетается в ответ,
Где форм и ритмов вечный след.
(ChatGPT)

4 марта 1882 г. родился Жюль Антуан Лиссажу, французский математик. Работы Лиссажу посвящены вопросам акустики и оптики. Изучал колебания тонких пластин, распространение волн. Разработал оптический метод исследования сложения колебаний при помощи так называемых фигур Лиссажу — замкнутых траекторий, прочерчиваемых точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Работал над созданием системы оптического телеграфа.

Выдающийся математик А.В. Погорелов — автор школьного учебника геометрии, выдержавшего десятки изданий миллионными тиражами, переведённого на многие языки. Однако, несмотря на определённые достоинства учебника, в целом его вряд ли можно считать удачным.
К достоинствам учебника можно отнести полноту, строгость и лаконичность изложения; в процессе объяснения задач автор обращает особое внимание на логику рассуждений и обоснование решения; в учебнике имеется много задач на доказательство;
приведены примеры, иллюстрирующие применение теории.
Недостатки учебника: тяготение к точным, но громоздким формулировкам;
«сухость» изложения, приведение доказательств сразу в готовом виде, без предварительных рассуждений;
довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем, например, признаков равенства треугольников (произрастающие из желания автора всё вывести из аксиом и не пользоваться наложением треугольников при их доказательстве);
стремление к скорой алгебраизации геометрии;
отсутствие некоторых теоретических положений, которые так или иначе «всплывают» в процессе преподавания;
отсутствие пропедевтики стереометрического материала в курсе планиметрии.
Неполная, но довольно содержательная критика учебника Погорелова — в статье Э.Б. Винберга.

«В школе есть два главных предмета — родная речь и геометрия. Одна учит человека грамотно излагать мысли, вторая — дедуктивному мышлению»
«Я мечтал писать этюды, портреты, выезжать на пленэр. Быть наедине с природой и собой. Но точные науки взяли верх»

3 марта 1919 г. родился Алексей Васильевич Погорелов, советский математик, специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Решил 4-ю проблему Гильберта «о прямой как кратчайшем соединении двух точек». Доказал теорему о существовании обобщенных решений уравнения Монжа-Ампера общего вида, теорему о единственности обобщенных решений.

А.Д. Александров: «Едва ли можно сегодня назвать второго математика, который обогатил бы науку таким количеством сильных глубоких конкретных результатов в области геометрии...»

«Сущность математики — в её свободе»

«В математике искусство задавать вопросы имеет большую ценность, чем умение решать задачи»

3 марта 1845 г. родился Георг Кантор — создатель теории множеств. Кантор впервые определил сравнение произвольных множеств, включая бесконечные, по их «мощности» (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. (Ранее здесь об этом была заметка.)
Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел. Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята как нарушение многовековых традиций, заложенных ещё древними греками и отрицающих актуальную бесконечность как легальный математический объект. Со временем канторовская теория множеств была поставлена на аксиоматическую основу и стала краеугольным камнем в современном построении оснований математики, на неё опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и многие другие разделы математики.

Решето Матиясевича-Стечкина — интересный геометрический способ найти все простые числа. Для этого на обычной параболе y = x² мы отмечаем все точки с целыми координатами и проводим все хорды, соединяющие эти точки на правой и левой ветви. Такие хорды пересекают ось ординат в точках с целыми координатами. Оказывается, что все такие точки имеют координату, являющуюся составным числом, а точки, координаты которых — простые числа, никогда не попадут на такие хорды.
Это легко показать. Уравнение прямой, проходящей через точки А(–а; а²) и В(b; b²) имеет вид:
y = (b–а)x + ab.
Отсюда при x = 0 получаем y = ab.

2 марта 1947 г. родился Юрий Владимирович Матиясевич, российский математик, специалист в области математической логики, теории алгоритмов, теории чисел, дискретной математики. Внёс существенный вклад в теорию вычислимости, завершив решение десятой проблемы Гильберта. В этой проблеме требовалось найти единый метод для распознавания наличия решений в целых числах у произвольного диофантова уравнения. Он установил, что метода, требуемого Гильбертом, не существует. Это стало мощным средством для доказательства неразрешимости и других алгоритмических проблем. На этой базе может быть построено решение многих проблем криптографии и теории чисел.
Матиясевич сделал также множество замечательных открытий в теоретической информатике, теории графов, аналитической теории чисел. Но самый красивый результат он получил, используя технику, наработанную при решении 10-й проблемы. Оказалось, что существует многочлен с целыми коэффициентами, множество всех неотрицательных значений которого (при положительных целых значениях переменных) совпадает с множеством простых чисел! Количество переменных в многочлене Матиясевича — 10. Его степень — 15905.

Образовательный проект Popmath подготовил 4-х месячные онлайн-курсы для взрослой аудитории для всех, кому важно осмыслить математику, а не просто заучить набор формул.

На ваш выбор два курса:

📍 Математика для взрослых: для желающих получить прочную математическую базу. Предварительные знания не требуются.
📍Линейная алгебра: для тех, кто хочет разобраться в предмете поглубже и выйти за рамки базовых знаний математики.

🔆 Формат курсов:
- 16 лекций и 16 семинаров через Zoom
- обратная связь с преподавателями в Телеграм
- яркие 2D- и 3D-анимации для лучшего восприятия материала

Старт групп: середина марта

По всем вопросам вы можете писать @popmath_support

Брауэр получил один из самых важных и полезных результатов в топологии — доказал теорему Боля–Брауэра о неподвижной точке.
Представьте, что у нас есть два листка бумаги одинакового размера, причём один листок лежит на другом. Вы берёте один листок, сминаете его в комок и бросаете на другой лист так, чтобы ни одна часть этого скомканного листка не выходила за края нижнего ровного листка бумаги. Теорема утверждает: на данном скомканном листке бумаги имеется хотя бы одна точка, которая будет находиться точно над тем же самым местом на нижнем листке бумаги, где она находилась первоначально, когда два ровных листка лежали один на другом.
Теорема работает и в других измерениях. Возьмите стакан с чаем и размешайте в нём сахар. Теорема Брауэра настаивает на том, что существует некоторая точка в чае, которая будет находиться в том же самом месте, где она находилась до того, как вы размешали сахар. На более точном языке математики теорема утверждает, что любое непрерывное отображение n-мерного шара в n-мерный шар (где n > 0 — размерность пространства) должно иметь неподвижную точку.

В самой гуще событий
Неподвижная точка,
И ничто не забыто,
Правда, это не точно.

И стремительно мчится
Время в ритме сверхсрочном,
Но ничто не случится
С неподвижною точкой.

Мир кружится юлою,
Но она и не знает;
Время мчится стрелою,
Точка чахнет, зевая.

Ей бы каплю вниманья,
Или воли глоточек,
Но её уж прозвали
"Неподвижная точка".
(И. Зайцев)

«Математика — свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”».

27 февраля 1881 г. родился Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — голландский философ и математик, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ.

Брауэр положил начало новому направлению в математике — интуиционизму. В теории множеств, на основании которой хотелось бы построить математику, в начале XX в. обнаружились всякие парадоксы и противоречия. Чтобы выйти из кризиса, математики пробовали идти разными путями, и один из них — интуиционизм.
Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.
Интуиционистская логика отличается от классической. Например, в классической логике каждое высказывание либо истинно, либо ложно. А у интуиционистов есть истинные высказывания, ложные и все остальные, пока ещё непроверенные. Если высказывание не является истинным, отсюда ещё не следует, что оно ложно.
Интуиционисты не признают доказательств от противного и вообще всех неконструктивных доказательств (теме неконструктивных доказательств ранее была посвящена заметка), с особой осторожностью работают с бесконечностями. Взять какие-то высказывания, потом манипулировать ими по формальным правилам и делать формальные выводы — занятие не для них. Каждый отдельный вывод должен быть очевиден и ясен индивидуально.
Используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признаёт, что благодаря т.н. закону исключённого третьего каждое утверждение, в частности, о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле. Однако, как замечают интуиционисты, закон исключённого третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов. Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключённого третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной. Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий не годятся для её обоснования. Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях.
Интуиционистское исчисление высказываний строил, в частности, А.Н. Колмогоров. Его ученик Пер Мартин-Лёф создал интуиционистскую теорию типов. Его подход использовал В.А. Воеводский для создания гомотопической теории типов. Он ввёл аксиому унивалентности и довёл свои идеи до этапа практических применений.
Математики продолжают работать над основаниями своей науки. Интуиционизм к настоящему времени ещё до конца не выкристаллизовался, его значение в обосновании математики предстоит узнать в будущем.

Франсуа Виет, дата смерти которого 23 февраля 1603 г. (а дата рождения не известна, 1540 г.), изобрёл способ решения кубического уравнения, не основанный на использовании формуле Кардано и комплексных чисел. Это тригонометрический метод, в основе которого лежит древняя задача трисекции угла.
Рассмотрим идею этого метода на примере.

Задачи в теории Рамсея обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось заданное условие или существовала заданная структура».
Простейший пример: доказать, что в любой группе из 6 человек найдутся либо 3 человека, попарно знакомые друг с другом, либо 3 человека, попарно незнакомые друг с другом.
Для доказательства возьмём любого из шестерых — назовём его А. Предположим, что он знает хотя бы троих из оставшихся. Если среди этих троих есть двое знакомых, они образуют искомую тройку (попарно знакомых) с А, если нет — то тройку попарно незнакомых между собой. Если же А знает не более двоих из оставшихся, то у него есть трое незнакомых, и для них работает аналогичное рассуждение. Также легко видеть, что в компании из пяти человек может уже не найтись троих попарно знакомых или попарно незнакомых: поставим пятерых изначально незнакомых людей по кругу и познакомим соседей.
На языке теории графов это утверждение формулируется так: если есть граф с шестью вершинами (это люди), ребра которого раскрашены в красный и синий цвета (знакомство и незнакомство соответственно), то найдутся три вершины, соединённые рёбрами одного цвета. А для графа с пятью вершинами такой тройки может и не быть.
А если мы хотим найти в какой-нибудь группе больше людей, которые или каждый с каждым знакомы, или каждый с каждым не знакомы? Верно ли, что какие бы значения n и k мы не взяли, в достаточно большой компании найдутся или n попарно знакомых, или k попарно незнакомых людей? Да, верно: это утверждает теорема Рамсея, доказанная им в 1930 г. Наименьший размер компании, заведомо удовлетворяющей этому условию, обозначается R(n, k) и называется числом Рамсея. Или, учитывая синюю группу из n вершин или красную группу из k вершин, минимальное количество вершин, которое должен иметь полный граф, чтобы каждое ребро было окрашено в красный или синий цвет.
Выше мы установили, что R(3,3) = 6. Считать числа Рамсея очень трудно. Известно, что, например, R(4,4) = 18 — соответствующий граф показан на рисунке.
R(4,5) = 25 (это сложно). А R(5,5) никто не знает, известно только, что 43 ⩽ R(5,5) ⩽ 48.
Фактически теорема Рамсея утверждает, что любая структура обязательно содержит упорядоченную подструктуру, а полный беспорядок невозможен. Если число объектов (звёзд, камней, людей, геометрических точек и т.п.) в совокупности достаточно велико и любые два объекта связывает одно из набора отношений, то всегда существует подмножество данной совокупности, содержащее заданное число объектов, и при этом такое, что в нём все объекты связаны отношением одного типа.
Теория Рамсея возникла как обобщение принципа Дирихле. Для её результатов характерна неконструктивность: доказывается, что некоторая структура существует, но не предлагается никакого способа её построения кроме прямого перебора. Кроме того, для существования искомых структур требуется, чтобы объекты, их содержащие, состояли из очень большого числа элементов. Зависимость числа элементов объекта от размера структуры обычно, как минимум, экспоненциальная.
Теория Рамсея имеет много интересных приложений, включая результаты в области теории чисел, геометрии, алгебры, топологии, логики, теории множеств, эргодической теории, теоретической информатики и теории информации.

22 февраля 1903 г. родился Фрэнк Пламптон Рамсей — британский математик, который, вдобавок к исследованиям в области математики, внёс значительный вклад в философию и экономическую науку.
В 1927 г. опубликовал статью, в которой представил, как её иногда называют, избыточную теорию истины. Позже возник отдельный раздел математики — теория Рамсея. Это раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок.
В экономике исследовал проблематику математического моделирования, в частности, разрабатывал модели оптимального налогообложения и экономического роста. Исследования Рамсея в области математической экономики были высоко оценены современниками, одна из моделей экономического роста носит его имя, также в экономической теории известна проблема Рамсея.
Его работы о природе вероятности во многом опередили время, их значение стало понятно только с развитием теории игр и теории принятия решений.
Фрэнк Рамсей умер в 26 лет в результате неудачной операции, повлёкшей инфекционный гепатит.

Перед Первой мировой войной Феликс Клейн занимался реорганизацией преподавания в немецких гимназиях. Инспектируя одну из школ, он спросил гимназистов, когда родился Коперник. Ответить никто не смог.
— Если не знаете дат его рождения и смерти, скажите хотя бы, в каком веке он жил? — Опять гробовое молчание.
— Скажите, он жил до нашей эры или нет?
— Конечно, до нашей эры, — убеждённо ответил весь класс.

В своем резюме Клейн отметил: «Школа должна добиться, чтобы ученики, отвечая на этот вопрос, хотя бы не употребляли слова "Конечно"».

Можно встретить утверждения, будто Коперник пострадал за свои взгляды или что только смерть в год публикации главного труда спасла астронома от участи Джордано Бруно. Например:

В огне растворишься, безумец Коперник,
Ты божьей науке и Риму соперник,
Ты ересью дьявола стал обладать,
Как могут планеты в пространстве летать?!
Земля же всегда на опоре стояла,
Когда же она вокруг Солнца летала?
Как можно в глаза инквизиции врать? —
Тебе же под пыткою правду держать.
Сверкнувши очами промолвил Епископ:
«Раскайся безумец, — рассвет уже близко,
Скорей отрекайся от ереси сей,
Не то инквизиция будет страшней».
(Ю. Галкин).

В реальности же Католическая церковь, занятая борьбой с Реформацией, первоначально снисходительно отнеслась к новой астрономии, тем более что вожди протестантов (Мартин Лютер, Меланхтон) отнеслись к ней резко враждебно.
В «Застольных беседах» Лютера приводится его высказывание:
«Говорят о каком-то новом астрологе, который доказывает, будто Земля движется, а небо, Солнце и Луна неподвижны; будто здесь происходит то же, что при движении в повозке или на корабле, когда едущему кажется, что он сидит неподвижно, а земля и деревья бегут мимо него. Ну, да ведь теперь всякий, кому хочется прослыть умником, старается выдумать что-нибудь особенное. Вот и этот дурак намерен перевернуть вверх дном всю астрономию».
Благожелательное отношение Ватикана к гелиоцентризму в первой половине XVI в. было связано и с тем, что для предстоящей реформы календаря были полезны наблюдения Солнца и Луны, содержащиеся в книге Коперника.
Официально католическая церковь запретила гелиоцентрическую систему мира Коперника только в 1616 г., спустя 73 г. после смерти Коперника (хотя гелиоцентрической моделью по-прежнему разрешалось пользоваться для математических расчётов движения планет). Самым известным следствием этого решения стал суд над Галилеем в 1633 г.
Вопреки устоявшемуся мнению, сама книга Коперника «De Revolutionibus Orbium Coelestium» была формально запрещена инквизицией лишь на 4 года (до 1620 г.), однако подверглась цензуре. Требуемые цензурные поправки, которые необходимо было внести владельцам книги для возможности дальнейшего использования, в основном касались утверждений, из которых следовало, что гелиоцентризм является не просто математической моделью, но отражением реальности.

19 февраля 1473 г. родился Николай Коперник — польский астроном, математик, механик, врач, экономист эпохи Возрождения. Наиболее известен как автор гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции.
Размышляя о Птолемеевой системе мира, Коперник поражался её сложности и искусственности. Изучая сочинения древних философов, он пришёл к выводу, что не Земля, а Солнце должно быть неподвижным центром Вселенной. Исходя из этого предположения, Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет.
Создавая свою гелиоцентрическую систему, Коперник опирался на математический и кинематический аппарат теории Птолемея, на полученные последним конкретные геометрические и числовые закономерности.
Главное и почти единственное сочинение Коперника, плод более чем 40-летней его работы, — «О вращении небесных сфер»; сочинение издано в Нюрнберге в 1543 г.
Модель мира Коперника была колоссальным шагом вперёд и сокрушительным ударом по архаичным авторитетам — низведение Земли до уровня рядовой планеты определённо подготавливало ньютоновское совмещение земных и небесных природных законов.
Однако, с современной точки зрения, модель Коперника недостаточно радикальна. Все орбиты в ней круговые, движение по ним равномерное, так что эпициклы сохранялись (хотя их стало меньше, чем у Птолемея). Механизм, обеспечивавший движение планет, также оставлен прежним — вращение сфер, к которым планеты прикреплены. На границу мира Коперник поместил сферу неподвижных звёзд. Строго говоря, модель Коперника даже не была гелиоцентрической, так как Солнце он расположил не в центре планетных сфер.

М.В. Ломоносов:
Случились вместе два Астро́нома в пиру
И спорили весьма между собой в жару.
Один твердил: «Земля, вертясь, круг Солнца ходит»;
Другой, что Солнце все с собой планеты водит.
Один Коперник был, другой слыл Птоломей.
Тут повар спор решил усмешкою своей.
Хозяин спрашивал: «Ты звёзд теченье знаешь?
Скажи, как ты о сём сомненье разсуждаешь?»
Он дал такой ответ: «Что в том Коперник прав,
Я правду докажу, на Солнце не бывав.
Кто видел простака из поваров такова,
Который бы вертел очаг кругом жаркова?»

Решение задачи по ссылке.

Прогрессивное научное мировоззрение Галилея, приведшее к его конфликту с догматическим церковным мировоззрением и ставшее определённым символом противостояния науки и церкви, не мешало Галилею практиковать астрологию. И хотя он высмеивал астрологию как профессию, опирающуюся на самые «неопределённые, если не ложные, основания», время от времени сам составлял гороскопы для студентов и аристократов, что в те времена входило в компетенцию математиков. Мало того, математики должны были учить студентов-медиков использовать гороскопы для назначения подходящего лечения. Сохранилось более двух десятков астрологических карт, начерченных Галилеем — на себя, своих детей, своих студентов, покровителей и членов их семей.

Есть ещё легенда о том, что Галилей страдал от клеветы коллег больше, чем от преследований инквизиции. У этой легенды много красноречивых сторонников, в их числе значится поэт Евгений Евтушенко:
Учёный, сверстник Галилея,
был Галилея не глупее.
Он знал, что вертится Земля,
но у него была семья.
И он, садясь с женой в карету,
свершив предательство своё,
считал, что делает карьеру,
а между тем губил её.
В этих стихах считывается исторический прецедент. Сделав свои открытия, Галилей с 1609 по 1611 г. довольно активно их пропагандировал, предлагая разным людям — в их числе и венецианский дож, и папа римский — лично убедиться существовании и четырёх спутников Юпитера, и гор на Луне, и мириад звёзд в составе Млечного Пути. Но один из коллег Галилея по Падуанском университету, Чезаре Кремонини, которого Галилей считал своим другом, отказался смотреть в телескоп. Его отказ был мотивирован тем, что от оптической трубы нечего ждать, кроме обмана зрения — Кремонини считал себя несведущим в астрономии и потому не имеющим права судить об увиденном, каким бы оно ни было. За этим скрывается довольно сложный философский вопрос о доверии к увиденному: для многих современников Галилея «просто увидеть» было недостаточно. Сам же Галилей придерживался мнения, что истина, однажды обнаруженная, становится очевидной.
Так или иначе, слова Евтушенко о «предательстве» неслучайны. В научно-популярной литературе ответственность за донос на Галилея в инквизицию нередко возлагалась именно на Кремонини — учёного коллегу, отказавшегося смотреть в телескоп. Но сейчас хорошо известно, что в инквизицию обратились два монаха-доминиканца Томмазо Каччини и Никколо Лорини, которых точно нельзя считать коллегами Галилея.

То, что Галилей сказал знаменитую фразу «А все-таки она вертится!» сразу после своего отречения — всего лишь красивая легенда.
Фраза «Eppur si muove» не встречается ни в одном из современных Галилею источников — ни в протоколах суда, ни в последующих работах и переписке ученого. Её не зафиксировал и первый биограф Галилея Винченцо Вивиани. Впервые она появляется в хрестоматии «Italian library», составленной литератором Джузеппе Баретти и опубликованной в Лондоне в 1757 г., то есть спустя 124 года после суда. Баретти пишет: «Как только Галилей был отпущен на свободу, он поднял глаза к небу, затем опустил их на землю, сделал шаг и в задумчивости произнес: „Eppur si muove“».
Стоя на коленях, Галилей зачитывал текст отречения, в котором признавал еретическим мнение, что Солнце находится в центре мира и не движется, а Земля вращается вокруг него. Текст отречения составлен так, чтобы в нём утверждалось, будто доказательство этого еретического мнения не было намерением Галилея. Да и сам он в ходе процесса пытался убедить судей, что хотел прямо противоположного — показать ошибочность учения Коперника. Конечно, заявление, что Земля всё-таки вертится, в такой ситуации было бы совершенно нелогичным и никак бы не вписывалось во всю стратегию защиты Галилея на процессе.

В 1992 г. папа Иоанн Павел II официально признал, что инквизиция в 1633 г. совершила ошибку, силой вынудив учёного отречься от теории Коперника. Тем не менее современные теологи Ватикана утверждают, что приговор Галилею был гуманным, а значительная доля вины за случившееся ложится на самого Галилея.
Одна из версий церковных историков состоит в том, что церковь судила Галилея за гелиоцентризм, чтобы спасти его от более тяжкого обвинения — в атомизме.

Общеизвестна легенда о том, что Галилей ниспроверг аристотелевскую физику, бросив одновременно мушкетную пулю и пушечное ядро с Пизанской башни. Никаких доказательств, написанных рукой самого Галилея, о выполнении этого эксперимента нет. Как нет доказательств и того, что Галилей скатывал шарики по наклонной плоскости или, бросал шарики, смоченные тушью, вдоль листа бумаги, чтобы они, пролетая, оставляли на нём красивые параболы. Эти истории сочинил искренне восхищавшийся своим учителем биограф Галилея Винченцо Вивиани ради придания большего драматизма в опровержении им теории Аристотеля. Для биографа, который ошибся в дате рождения своего героя, а также не всегда достоверно передавал суть его теорий, такие приукрашивания вполне объяснимы.
Большие сомнения вызывает и демонстративность эксперимента по сбрасыванию шаров с Пизанской башни: принимая во внимание высоту башни, можно утверждать, что Галилею, стоящему наверху, сложно было бы разглядеть, насколько одновременно приземлятся брошенные им пуля и ядро, а собравшимся внизу зрителям сложно увидеть, одновременно ли два эти предмета начали движение, да и вообще — стоять внизу, когда сверху летит пушечное ядро, стараясь оказаться поближе к месту его падения, наверное, не лучшая идея.
А в своём знаменитом «Диалоге» Галилей и вовсе утверждает, что не надо бросать ни пулю, ни ядро, чтобы убедиться, что они, падая, должны проделать одинаковый путь за совершенно одинаковое время. Он пишет:
«Представьте себе два предмета, один из которых тяжелее другого, соединённых верёвкой друг с другом, и сбросьте эту связку с башни. Если мы предположим, что тяжёлые предметы действительно падают быстрее, чем лёгкие и наоборот, то лёгкий предмет должен будет замедлять падение тяжёлого. Но поскольку рассматриваемая система в целом тяжелее, чем один тяжёлый предмет, то она должна падать быстрее него. Таким образом мы приходим к противоречию, из которого следует, что изначальное предположение (тяжёлые предметы падают быстрее лёгких) — неверно».
Поистине удивительным в этом мысленном эксперименте Галилея является то, что это — ошибочное на самом деле — рассуждение привело его к верному результату!
Ошибка рассуждений заключается в неявном предположении, что ускорение тел зависит только от одной физической величины — «тяжести» (то есть от гравитационной массы). Если бы масс было две (гравитационная и не равная ей инертная), то подобное «доказательство» провести было бы нельзя. Эта ошибка легко выявляется, если заменить в этом мысленном эксперименте веса тел на электрические заряды, а притяжение Земли — на притяжение третьего тела с бо́льшим зарядом. В случае зарядов правым оказывается скорее Аристотель, чем Галилей, хотя рассуждения можно повторить один в один. Независимость ускорения тела от его массы связана с пропорциональностью инертной и тяжелой масс. Конечно, во времена Галилея ещё не было ни закона Кулона, ни законов Ньютона, и аргументы Галилея казались убедительными. Но сегодня к ним можно относиться скорее как к риторическому приёму, чем как к аргументу.
С помощью своего воображаемого эксперимента Галилей стремился построить физику на базе математики. Однако, подменив опыт математическим доказательством, он совершил логическую ошибку: его рассуждение о прохождении телом всех степеней медленности имеет чисто математический характер, но при этом остаётся недоказанным, что между физическим движением и его математической моделью в предельном случае — а именно такой случай и являет нам конструируемый объект — нет никакого различия.

Галилею приписывают открытие закона инерции. Сегодня мы знаем его как первый закон Ньютона. В нём говорится, что если на тело не действуют силы (или их равнодействующая равна нулю), то оно будет двигаться равномерно и прямолинейно. Галилей же, вслед за Аристотелем, считал, что тело, на которое не действуют силы, может равномерно двигаться по окружности. Таковым он считал, например, движение планет вокруг Солнца. Ошибка в рассуждениях возникла из-за того, что Галилей не знал о законе всемирного тяготения, открытого позже Ньютоном.

«В науке авторитет тысячи мнений не стоит и одной крошечной искорки разума в отдельном человеке»

15 февраля 1564 г. родился Галилео Галилей — итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. При жизни был известен как активный сторонник гелиоцентрической системы мира, что привело Галилея к серьёзному конфликту с католической церковью. Галилей был первым, кто показал, что Млечный Путь состоит из звёзд.

В математике Галилей провёл исследование об исходах при бросании игральных костей. В его «Рассуждении об игре в кости» проведён довольно полный анализ этой задачи.
В «Беседах о двух новых науках» он сформулировал «парадокс Галилея»: натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, хотя бо́льшая часть чисел не являются квадратами. Это подтолкнуло в дальнейшем к исследованию природы бесконечных множеств и их классификации; завершился процесс созданием теории множеств.

Ответ: (6√2 + 4) / 7.

Мой новый материал про особый вид треугольников, впервые рассмотренный советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным. Удивительно, что до ХХ века никто так и не обратил внимание на этот бриллиант.

Задача Шарыгина. Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

«Высшее проявление духа — это разум. Высшее проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою»

«История человечества пишется в трёх книгах.
Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства.
Это История Любви. Ее пишет Искусство.
И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль»

«В. И. Арнольд говорит, что математика — это часть физики. А я дополняю: физика — часть геометрии!»

«Хороший учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто не стесняется своего незнания. Поэтому у хороших учителей ученики их перерастают»

13 февраля 1937 г. родился Игорь Фёдорович Шарыгин — математик и педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников, член редколлегии журнала «Квант».
В память об Игоре Фёдоровиче с 2005 года ежегодно проводят Всероссийскую олимпиаду по геометрии имени И.Ф. Шарыгина для школьников старших классов.