видео сегодняшней лекции https://youtu.be/XJy0cp6VC3w

видео сегодняшней лекции https://youtu.be/XJy0cp6VC3w

напоминаем про сегодняшнюю лекцию директора ВШМ МФТИ А.Соболевского, в обычном месте в обычное время (занимайте места заранее)

[пятница 25 апреля, 16:15, ауд.302]
Дмитрий Вишневский, Денис Подолянский, Виктор Вакарюк (10Б),
"Знакомство с фризами"

Мы расскажем про фризы. Фриз — это таблица, строящаяся рекуррентно по первым двум строкам (которые стоят со сдвигом). Первая из которых состоит из единиц, а вторая не содержит двух рядом стоящих единиц и состоит из целых положительных чисел. Каждая следующая строка строится по правилу ad – bc = 1 (где a — левая клетка ромба, b — верхняя, c — нижняя, d — правая.

Мы докажем целочисленность фриза при целой второй строке, про симметрии расскажем, и про связь с триангуляциями многоугольников.

[среда 23 апреля, 16:15, ауд.302]
Андрей Соболевский (д.ф.-м.н., профессор РАН,
директор Высшей школы современной математики МФТИ),
"О выемках и насыпях, транспорте и космологии"

«Мемуар о теории выемок и насыпей». Так называлась опубликованная в 1781 году статья одного из основателей современной геометрии — Гаспара Монжа, о которой и пойдет речь в лекции. Сначала мы проследим, как Монж решает поставленную им в начале этой статьи необычную геометрическую задачу, а затем обсудим, как идеи Монжа неожиданно отозвались в прикладной математике XX века, где они нашли применение в математической экономике и даже в космологии.

на этой неделе тоже будет два доклада: в среду состоится отложенная на две недели лекция директора ВШМ МФТИ А.Соболевского, а в пятницу пройдёт предзащита математического проекта команды десятиклассников (не перепутайте)

а вот сегодняшняя запись https://youtu.be/sBUalnp4EOk

интересующимся рекомендуется книжка Никулин, Шафаревич. Геометрия и группы (причëм это другой Шафаревич....)

видео лекции про ветвящиеся процессы в среду https://youtu.be/tMry1KIHwiw

кстати лекция Шафаревича уже идëт

напоминаем про сегодняшнюю лекцию — про комбинаторику, степенные ряды и случайные процессы. должно быть понятно и не очень сложно, а ещё и на удивление близко к приложениям в реальной жизни

[среда 16 апреля, 16:15, ауд.302]
Ваня Яковлев (кроссворд Тьюринга),
"Задача о вырождении фамилий"

В середине XIX века два английских исследователя — Фрэнсис Гальтон и Генри Уотсон — задались вопросом: почему вымирают аристократические фамилии? Так появилась первая математическая модель случайного размножения — ветвящийся процесс, ныне известный как процесс Гальтона — Ватсона.

Процесс начинается с одного "предка", который порождает случайное число "потомков", каждый из которых делает то же самое в следующем поколении, и так далее. Главный вопрос — с какой вероятностью вся эта династия рано или поздно вымрет?

На лекции мы разберём, как с помощью производящих функций можно точно описать поведение таких процессов и найти вероятность вымирания. Мы увидим, как простая вероятностная модель приводит к глубоким результатам, в которых сочетаются теория вероятностей, немного анализа и комбинаторики.

Предварительных знаний не требуется — все понятия будут введены с нуля.

[пятница 18 апреля, 16:15, ауд.302]
Андрей Шафаревич (мехмат МГУ),
"Локально-евклидовы пространства, дискретные группы и накрытия"

Естественный вопрос, возникающий при изучении евклидовой геометрии, состоит в следующем: существуют ли пространства,  в целом отличные от евклидова, но совпадающие с таковым в достаточно малых частях? В двумерном случае ответ формулируется достаточно просто. Доказательство связано, с одной стороны, с классификацией равномерно дискретных групп движений, а с другой - с описанием накрытий пространств плоскостью. Кроме того, эта тематика имеет отношение к геометрии Лобачевского, к теории кристаллографических групп и квазикристаллов.

на следующей неделе будет две лекции, довольно серьëзных, в среду и в пятницу. интрига....

вчерашнее видео https://www.youtube.com/watch?v=l4FCBdOQdhk

лекция получилась объёмной и очень эпичной, правда в конце мы воспользовались без доказательства некоторой теоремой, даже с одной формулировкой которой разбирались минут десять. так что наука ждёт отважных, ну как обычно

через полтора часа разбираемся, что такое уклончивые свойства графов и считаем эквивариантные когомологии. не перепутайте

итак, замена завтрашнего доклада:

[среда 9 апреля, 16:15, ауд.302]
Михаил Блудов (ФПМИ+ВШМ МФТИ),
"Сложности графов и топологические фокусы"

Алиса и Боб играют в игру. Боб загадал граф G на n вершинах. Алиса хочет узнать, верно ли, что граф, который загадал Боб, обладает свойством P (например, является ли граф связным)? Алиса может задать вопрос Бобу: "Верно ли, что ребро e лежит в твоем графе G?". Сложность свойства P — это минимальное количество вопросов, за которые Алиса гарантированно узнает, обладает ли граф G свойством P. Свойство P называют уклончивым, если Алисе, для разрешения своей дилемы, нужно задать n(n-1)/2 вопросов (то есть задать вопрос про каждое ребро).

Свойство графов P назовем убывающим, если оно остается верным для графа при удалении из него любого ребра. Например, свойство быть несвязным — убывающее. Гипотеза Карпа гласит, что все нетривиальные убывающие свойства уклончивы. Гипотеза разрешена (внезапно) для случая n=p^k, то есть когда количество вершин есть степень простого! Доказательство использует топологические понятия и методы, некоторыми из них мы воспользуемся как черным ящиком, а некоторые (например, коллапсируемость симплициального комплекса) будут вполне приятными и комбинаторными.

к сожалению завтрашняя лекция не состоится в связи с болезнью докладчика — предварительно, она переносится на две недели, на среду 23 апреля.

а завтра вместо выемок, насыпей, транспорта и космологии пройдёт другой доклад.....

мы возвращаемся с каникул с большой лекцией в среду!

[ОТМЕНА]
Андрей Соболевский (д.ф.-м.н., профессор РАН,
директор Высшей школы современной математики МФТИ),
"О выемках и насыпях, транспорте и космологии"

«Мемуар о теории выемок и насыпей». Так называлась опубликованная в 1781 году статья одного из основателей современной геометрии — Гаспара Монжа, о которой и пойдет речь в лекции. Сначала мы проследим, как Монж решает поставленную им в начале этой статьи необычную геометрическую задачу, а затем обсудим, как идеи Монжа неожиданно отозвались в прикладной математике XX века, где они нашли применение в математической экономике и даже в космологии.

и вчерашнее видео https://www.youtube.com/watch?v=MGJux9etGY4

в качестве письменных источников Даня рекомендует начать с http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html

а сегодня ортополюс!

не забудьте

видео https://www.youtube.com/watch?v=5ygFG8Myw_g

прочитать про это можно например в рукописи, приложенной в комментариях

сегодня Понселе!

не перепутайте

Картинка для привлечения внимания

[26 марта (СРЕДА), 16:15, ауд.302]
Даня Дюдяев (10Б),
"Ортополюс — Продолжение"

Ура, мы пережили скучную часть, которую нужно было рассказать, чтобы понять базу. Теперь перейдём к чему-то более интересному!

Обсудим:
~ Клевые свойства S-треугольников и кучу их критериев; 
~ Начнём махать руками вокруг Дельтоиды Штейнера и её связи с ортополюсом;
~ Разберемся на базовом уровне сколько прямых имеют данный ортополюс;
~ Подумаем над связью с равнобокими гиперболами, про которые рассказывал Макс;
~ Если успеем, обнаружим тот самый эллипс, вписанный в дельтоиду.

Пререквизиты: Было бы круто посмотреть первую часть, но в самом начале я вкратце напомню о чем велась речь. В какой-то момент мы начнём говорить о равнобоких гиперболах, так что Вам будет легче, если Вы посмотрите первую половину недавнего доклада о них, но, в целом, все понять реально без этих знаний.
Всех жду!

[26 марта (СРЕДА), 16:15, ауд.302]
Даня Дюдяев (10Б),
"Ортополюс — Продолжение"

Ура, мы пережили скучную часть, которую нужно было рассказать, чтобы понять базу. Теперь перейдём к чему-то более интересному!

Обсудим:
~ Клевые свойства S-треугольников и кучу их критериев; 
~ Начнём махать руками вокруг Дельтоиды Штейнера и её связи с ортополюсом;
~ Разберемся на базовом уровне сколько прямых имеют данный ортополюс;
~ Подумаем над связью с равнобокими гиперболами, про которые рассказывал Макс;
~ Если успеем, обнаружим тот самый эллипс, вписанный в дельтоиду.

Пререквизиты: Было бы круто посмотреть первую часть, но в самом начале я вкратце напомню о чем велась речь. В какой-то момент мы начнём говорить о равнобоких гиперболах, так что Вам будет легче, если Вы посмотрите первую половину недавнего доклада о них, но, в целом, все понять реально без этих знаний.
Всех жду!

Картинка для привлечения внимания

[26 марта (СРЕДА), 16:15, ауд.302]
Даня Дюдяев (10Б),
"Ортополюс — Продолжение"

Ура, мы пережили скучную часть, которую нужно было рассказать, чтобы понять базу. Теперь перейдём к чему-то более интересному!

Обсудим:
~ Клевые свойства S-треугольников и кучу их критериев; 
~ Начнём махать руками вокруг Дельтоиды Штейнера и её связи с ортополюсом;
~ Разберемся на базовом уровне сколько прямых имеют данный ортополюс;
~ Подумаем над связью с равнобокими гиперболами, про которые рассказывал Макс;
~ Если успеем, обнаружим тот самый эллипс, вписанный в дельтоиду.

Пререквизиты: Было бы круто посмотреть первую часть, но в самом начале я вкратце напомню о чем велась речь. В какой-то момент мы начнём говорить о равнобоких гиперболах, так что Вам будет легче, если Вы посмотрите первую половину недавнего доклада о них, но, в целом, все понять реально без этих знаний.
Всех жду!

[25 марта (ВТОРНИК), 16:15, ауд. 302]
Станислав Кузнецов,
"Коники, 2-2 соответствия и поризм Понселе"

Поризм Понселе (или Теорема Понселе) является классическим фактом проективной алгебраической геометрии. Эта знаменитая теорема является примером так называемой теоремы о замыкании, когда некоторый процесс построения новых точек в результате проведения тех или иных линий, зацикливается через некоторое количество шагов. У этого факта есть множество разных доказательств, версий и обобщений. Все сильные матшкольники в 10-11 классах обычно знают эту теорему и ноль-два ее доказательства в общем случае (есть классическое геометрическое рассуждение через пучки окружностей, а есть аналитическое доказательство через функцию плотности — и то, и другое есть в статье Протасова "два века теоремы Понселе"), но они обладают теми проколами, что работают лишь в вещественной проективной плоскости, то есть используют средства евклидовой геометрии.

На докладе мы обсудим чисто алгебраический подход к поризму Понселе через так называемые 2-2 соответствия, который не просто докажет ее в общем случае на CP² с кониками, но еще и определенное количество смежных фактов: например, этого, этого и этого. Более того, на докладе будут решены две задачи с проекта ЛКТГ по движению точек, одну из которых не решил ни один из участников, а другую не решили даже жюри - некоторое время (больше полугода) она оставалась нерешенной.

Пререквизиты: желательно понимать, что такое CP², CP¹ и коника. В принципе, больше ничего особо и не надо.

вот сегодняшнее видео https://www.youtube.com/watch?v=rbEVaaxItko

успели обсудить определение группы кос на поверхности и найти её набор образующих. а про центр даже не начали говорить, так что будет пятая серия — видимо уже после каникул, в апреле.

если более подробно, в начале было напоминание определения обычной группы кос и группы кос на поверхности, потом было определение фундаментальной группы и примеры, какие бывают фундаментальные группы поверхностей (почти без доказательств), а потом мы начали искать образующие у группы кос на замкнутой поверхности и пришлось понять, какие образующие фундаментальной группы поверхности с проколами. ну и в конце нашли все образующие для кос по индукции.

видео ещё раз с картинкой https://www.youtube.com/watch?v=TrCwlF4CHJA

и про планы: ждём косы в эту пятницу, держим кулачки. а геометрический марафон продолжается: на следующей неделе во вторник планируется доклад про поризм Понселе, а в среду — вторая часть истории про ортополюс. и всё, больше докладов до апреля видимо не будет. может на каникулах проведём дистанционный сбор, пока не знаю. зато на апрель-май уже назначено несколько серьёзных гостей.... все подробности скоро

видео https://youtu.be/TrCwlF4CHJA?si=nKAAVAhnpSGsEDnO

[пятница 21 марта, 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Косы на поверхностях - 4½"

Элементы обычной группы кос — наборы из n переплетённых нитей; композиция определена как присоединение одного набора нитей к другому. Мы обсудим более общее понятие кос на поверхности, когда нити расположены не в пространстве, а в утолщённой поверхности. Задача, которую мы будем пытаться решить — найти центр этой группы, то есть косы, коммутирующие со всеми остальными косами.

Доклад в первую очередь рассчитан людей, знакомых с понятием группы кос (например, на слушателей одноимённого мини-курса на зимней школе 179), но все необходимые определения будут даны.

и картинка

[среда 19 марта, 16:15, ауд. 302]
Векшин Максим,
"Равнобокие гиперболы, изогональное и антигональное сопряжения"

На докладе будет в первую очередь красивая олимпиадная геометрия. Расскажу про то, как устроены равнобокие гиперболы, описанные около треугольника, почему это полезный объект, об их связи с изогональным и антигональным сопряжениями. Также разные свойства этих сопряжений (некоторые даже неочевидные). И в целом планируется рассказать о том, как можно работать с кониками, как понять, что какие-то точки лежат на одной конике, в частности, на одной равнобокой гиперболе.

Также попробуем понять, как определять угол между асимптотами произвольной коники и доказать такое утверждение: "У коник девяти точек двух антигонально сопряженных точек равные углы между асимптотами."

на всякий случай напоминаем, сегодня семинара не будет. а ближайшие планы такие: две среды до каникул будут посвящены коникам — ожидаются равнобокие гиперболы и антигональное сопряжение, а также алгебраическое доказательство поризма Понселе. ну и в следующую пятницу я попробую таки рассказать про группу кос на поверхности и посчитать её центр. держим связь

видео https://youtu.be/0GpqIKX5_UY

брошюра, на содержании которой основан доклад https://old.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf

а про метод отражения, который используется в том числе для вывода формулы чисел Каталана, написано например здесь https://shashkovs.ru/forum179/download/file.php?id=383

а прямо перед кружочком на двух уроках будут защиты проектов десятых классов, можно зайти послушать (торопитес!)

и в субботу на третьей паре -- продолжение

напоминалка про завтрашнюю лекцию. ждём

[среда 12 марта, 16:15, ауд. 302]
Ваня Яковлев (Кроссворд Тьюринга),
"Ацтекский бриллиант и пути Шрёдера"

Ацтекский бриллиант порядка n — это множество клеток клетчатой плоскости, центры которых имеют целочисленные координаты (x, y) и удовлетворяют неравенству |x|+|y|≤ n.

Число его замощений доминошками имеет простую и красивую формулу: 2^n(n+1)/2. Однако способы получения этого результата могут быть весьма нетривиальны.

На лекции мы рассмотрим одно из таких доказательств, основанное на связи с путями Шрёдера. Это пути по решётке, остающиеся (нестрого) выше оси абсцисс, для которых разрешены только шаги диагонально вверх-вправо, вниз-вправо или два шага вправо. Оказывается, что наборы непересекающихся путей Шредера можно сопоставить замощениям ацтекского бриллианта, что даёт неожиданный и элегантный способ их подсчёта.

Лекция будет основана на материалах брошюры Евгения Смирнова «Три взгляда на ацтекский бриллиант» и рассчитана на школьников, интересующихся комбинаторикой. Предварительные знания не требуются — все необходимые понятия и результаты будут введены и объяснены.

на следующей неделе планируется одна лекция в среду

а вот и сегодняшнее видео https://www.youtube.com/watch?v=C_kC7BLOb7I

основная часть содержания доклада есть в статье Juan González-Meneses, Pedro M. G. Manchón. Closures of positive braids and the Morton-Franks-Williams inequality

и возможно продолжение....

видео https://www.youtube.com/watch?v=dKJ4oGqbt1Y

намечается вторая часть, но кто знает, когда она будет, какого содержания, в чьём исполнении.....

[7 марта (ПЯТНИЦА), 16:15, ауд.302]
Анастасия Вахрина (МФ ВШЭ//МКН СПбГУ),
"Вокруг минимальных кос"

Для любого узла существуют косы, из которых этот узел может быть получен с помощью замыкания Александера. Если узел, полученный из косы, нельзя получить замыканием косы с меньшим числом нитей, то коса называется минимальной. Испанские косы — интересный класс кос, обладающих в частности свойством минимальности. У него есть несколько разных определений, которые мы разберём. Также мы поговорим про некоторые свойства испанских кос и попробуем про них что-нибудь доказать (в частности, обсудим многочлен HOMFLY-PT и способы доказать, что коса является минимальной).

картинка

[5 марта (СРЕДА), 16:15, ауд.302]
Даня Дюдяев (10Б),
"Ортополюс — Введение"

Дан треугольник ABC и прямая d. Спроецируем вершины треугольника на d (в точки A', B', C' соответственно). А теперь опустили перпендикуляры из A' на BC, из B' на AC и из C' на AB. Оказывается, эти перпендикуляры пересекаются в одной точке — ортополюсе прямой d относительно треугольника ABC.

Мы рассмотрим незамысловатую и ничем не примечательную конструкцию из элементарной планиметрии, которая в дальнейшем приведёт нас ко вписанным в дельтоиды (которые частные случаи циклоид) эллипсы, загадочной связи с прямыми Симсона, нескольким красивым обобщениям и целой куче нерешенных (мной😭) проблем...

Все мы не успеем, так что есть шанс на вторую часть, если кому-нибудь понравится тема :) Пререквизитов нет, все расскажу!

итак, на следующей неделе будет планиметрия в среду, а в пятницу что-то про косы. подробности скоро

видео https://youtu.be/XWorp4LXyWk?si=yoWMK2GV7j1PaLo2

материалы доступно изложены в статье Задачи и теоремы о представителях, в которой также есть несколько задач, которые мы не успели разобрать (и небольшой список релевантной литературы)

ещё Александр Прокофьевич рекомендует желающим ознакомиться с внешне похожей задачей об устойчивом паросочетании aka алгоритм Гэйла-Шепли — он художественно описан например в этой статье

сегодня всё по плану, и почти на полчаса позже чем обычно, как написано. всех ждём!

сегодняшний семинар отменяется в связи с болезнью докладчика. пятничная лекция скорее всего состоится, но посмотрим ближе к делу. а косы ещё будут, видимо, на следующей неделе

а в пятницу из-за празднования масленицы начнём немного позже:

[28 февраля (ПЯТНИЦА), 16:40, ауд. 302]
Александр Прокофьевич Романов,
"Задачи о представителях"

Мы рассмотрим ряд классических задач, в том числе лемму Холла о свадьбах и теорему Кёнига о максимальном паросочетании. Внешне непохожие, они оказываются логически связанными между собой и каждую из них можно вывести из другой.

Исторически эти утверждения связаны с теорией транспортных графов, но мы обсудим другие, более комбинаторные подходы к доказательству. Доклад будет вполне элементарным и рассчитан на школьников, заранее не знакомых с темой.

[26 февраля, 16:15, ауд. 302 ОТМЕНА]
Андрей Рябичев,
"Косы на поверхностях - 4"

Элементы обычной группы кос — наборы из n переплетённых нитей; композиция определена как присоединение одного набора нитей к другому. Мы обсудим более общее понятие кос на поверхности, когда нити расположены не в пространстве, а в утолщённой поверхности. Задача, которую мы будем пытаться решить — найти центр этой группы, то есть косы, коммутирующие со всеми остальными косами.

Доклад в первую очередь рассчитан на слушателей одноимённого мини-курса на зимней школе 179, но все необходимые определения будут даны.

чтобы немного подогреть интригу, могу раскрыть, что на ближайшей неделе планируются два доклада — один про косы и топологию, а другой либо по комбинаторике, либо по планиметрии, — но пока не решено какие и когда. такие вот планы (и на следующую неделю примерно такие же). следите за обновлениями.....

видео https://youtu.be/ylVZhuVT9Ew

в качестве нежного введения в инварианты Васильева (и вообще в узлы) советую книгу [Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия].

сам доклад был основан на второй главе докторской диссертации Сергея Васильевича Дужина [Комбинаторные аспекты теории инвариантов Васильева (2011)], там тоже всё очень понятно написано, рекомендую.

бах бах срочно сбор завтра! обратите внимание, начало чуть раньше обычного, может по средам теперь придётся так

[19 февраля (СРЕДА), 16:00, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Инварианты Васильева, весовые системы и интеграл Концевича"

Изучение топологии дополнений к дискриминантам подсказало инновационный подход к инвариантам узлов. Что какое узел — несамопересекающаяся кривая в пространстве. Значит, чтобы изучить инварианты узлов, достаточно понять, на какие части множество самопересекающихся кривых разделяет пространство всех кривых. Множество же самопересекающихся кривых образует "стенки", состоящие из кривых с одним самопересечением, на пересечении "стенок" лежат кривые с двумя самопересечениями, и т.п....

Так появились инварианты конечного типа, также известные как инварианты Васильева. Одна из основных открытых проблем современной топологии — верно ли, что инвариантами Васильева можно различить любые два узла?

Несмотря на нерешённость проблемы, неожиданным образом есть универсальная конструкция, позволяющая гипотетически вычислить любые инварианты Васильева — интеграл Концевича. Я расскажу, если успею, как он работает, а также при чём здесь хордовые диаграммы и почему вместо топологии приходится заниматься комбинаторикой.

От слушателей (если такие найдутся) ожидается, что они уже слышали что-то про узлы (типа что бывают инварианты, но не обязательно очень подробно). Желательно также знать, что такое комплексные числа и формальные степенные ряды.

на следующей неделе у нас невыездная школа, а ещë комбалг, так что я думал не проводить кружочек -- да и сегодняшнего интенсива можно и взять паузу на переварить. или всë-таки соберëмся? (я могу в понедельник или в среду, может ещë во вторник.) отдохнуть или поботать, мнения?

https://youtu.be/hcsXxHR78DY

https://youtu.be/gTAdtj69ISM

https://youtu.be/3SjR22-x17M

https://youtu.be/krZWXA8pjkw

https://youtu.be/ZxRZqzV9BaA

https://youtu.be/c6aQdMMviBc

сегодняшняя мини-конференция будет проходить в кабинетах 305 (старшая секция) и 307 (младшая секция)

желающим посетить мини-конференцию (послезавтра!) напоминаем о необходимости зарегистрироваться!

а если вы в целом любите математику, хочу напомнить, что наш субботний карнавал — не единственное место где её дают. вообще-то кружочек работает девять месяцев в году, и даже чуть больше. а из более серьёзного, если вы уже не школбник, есть например семинар Глобус с докладами по самым разным темам, или, для последовательного изучения, спецкурсы НМУ или там НОЦ МИАН, а также разные конференции (например вот), для роста и развития просто нет границ

МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ В ДЕНЬ МАТЕМАТИКА 15 ФЕВРАЛЯ 2025
СЕКЦИЯ 9–11 КЛАССОВ


13:00 – 13:55
Владлен Анатольевич Тиморин,
"Окружности и расслоение Хопфа"

Мы поговорим про геометрию окружностей и связанную с этой геометрией алгебру. «Расслоение Хопфа» — объект, который вам еще точно встретится, и не раз, если вы будете изучать топологию — можно рассматривать как способ организации прямых или окружностей в трехмерном пространстве. У нас он будет играть геометрическую роль, в частности, даст удобный способ параметризовать все окружности на плоскости.


14:10 – 15:05
Алексей Львович Городенцев,
"Группы в действии"

Набор взаимно однозначных отображений множества X в себя называется группой, если вместе с каждым отображением он содержит и обратное к нему, а вместе с каждыми двумя отображениями— их композицию. Если тот или иной вопрос про множество X допускает действие некоторой группы (то есть обладает «симметриями»), то ответ на него часто удаётся найти «из соображений симметрии», то есть используя общие свойства, присущие всем группам, и устройство данной конкретной группы. Вот примеры таких вопросов:

• Раскрыть скобки в (x₁+…+xₖ)ⁿ, то есть указать, какие мономы xⁿ¹…xⁿᵏ и с какими коэффициентами получатся после приведения подобных слагаемых.

• Каждую грань кубика красят одним из n фиксированных цветов, цвета разных граней могут совпадать. Сколько различных крашеных кубиков удастся получить?

• Задача, предложенная Н.Н.Константиновым на одном из ранних Турниров Городов и пришедшая из реальной советской жизни. В городе N разрешаются лишь простые двусторонние обмены квартирами— когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, а B — в квартиру, принадлежавшую A, все более сложные комбинации, скажем, когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, B — в квартиру, принадлежавшую C, а уже C — в квартиру, принадлежавшую A, запрещены. Более того, в течение одного дня каждому жителю разрешается сделать не более одного обмена. Можно ли за два дня осуществить любой, сколь угодно сложный обмен, то есть произвольное взаимно однозначное отображение множества квартир в себя?


15:20 – 16:00
Юлия Ивановна Зайцева,
"Базисы Грёбнера"

Как понять, есть ли решения у системы уравнений? Конечно или бесконечно число таких решений? Можно ли написать программу, которая отвечает на эти вопросы? Если уравнения системы имеют вид f=0, где f — многочлены от нескольких переменных, то решить эти задачи позволяют так называемые базисы Грёбнера. Я расскажу про то, откуда они берутся, как их искать и где применять. Алгоритм Бухбергера построения базисов Грёбнера основан на обобщении деления многочленов в столбик. От слушателей желательно умение делить в столбик многочлены от одной переменной (или хотя бы числа).


номера аудиторий появятся чуть позже. не забудьте зарегистрироваться (и отпроситься с уроков, если у вас есть третья пара в субботу), и до встречи!

МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ В ДЕНЬ МАТЕМАТИКА 15 ФЕВРАЛЯ 2025
СЕКЦИЯ 7–9 КЛАССОВ


13:00 – 13:55
Михаил Александрович Евдокимов,
"Задачки Квантландии"

Лекция посвящена различным интересным задачкам проекта Квантландия. Некоторые из них были опубликованы в журнале “Квантик” или были предложены на различных олимпиадах, часть задач авторские. Лекция рассчитана на широкую аудиторию (7 класс и старше). Самые активные участники лекции получат призы!

Лектор: М.А.Евдокимов, автор олимпиадных задач различных олимпиад (ММО, Тургор, Матпраздник и других), книг "Сто граней математики" и "От задачек к задачам", основатель проекта Квантландия: https://www.kvantland.com


14:10 – 15:05
Валентина Алексеевна Кириченко,
"Теория чисел и алгоритм RSA"

В 1977 году трое учёных из Массачусетского технологического университета придумали новый алгоритм шифрования и рассказали о нём знаменитому популяризатору математики Мартину Гарднеру. Тот немедленно опубликовал пост в своём блоге, предложив читателям разгадать зашифрованное учёными сообщение. Сообщение расшифровали только через 17 лет. Ныне алгоритм RSA, названный так по первым буквам фамилий своих создателей, повсеместно используется при передаче данных через Интернет. Мы поговорим о криптографии с открытым ключом, разберёмся, как работает алгоритм RSA, и выясним, на какие результаты теории чисел он опирается.


15:20 – 16:00
Лев Азманов,
"Хроматическое число плоскости — хотя бы 5"

В сороковых годах двадцатого века Эрдёшем и Нельсоном независимо была поставлена следующая задача: В какое минимальное число цветов можно покрасить точки плоскости, чтобы любые две точки, находящиеся на расстоянии один, имели разные цвета?

До 2018 года было известно, что трёх цветов недостаточно, а семи хватает.

В 2018 году геронтолог Обри ди Грей показал, что четырёх цветов также недостаточно. Мы повторим его рассуждения, а также, если останется время, обсудим, как улучшали построенный им граф.


номера аудиторий появятся чуть позже. не забудьте зарегистрироваться (и отпроситься с уроков, если у вас есть третья пара в субботу), и до встречи!

в субботу 15 февраля в 179 школе состоится традиционный День математика, в рамках которого мы в который раз проводим МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЮ. уже доступна регистрация https://forms.gle/9oVHKR78ox8ss6zAA

вот предварительное расписание:

СЕКЦИЯ 7–9 КЛАССОВ — каб. 307
13:00 – 13:55 М. А. Евдокимов, "Задачки Квантландии"
14:10 – 15:05 В. А. Кириченко, "Теория чисел и алгоритм RSA"
15:20 – 16:00 Лев Азманов, "Хроматическое число плоскости — хотя бы 5"

СЕКЦИЯ 9–11 КЛАССОВ — каб. 305
13:00 – 13:55 В. А. Тиморин, "Окружности и расслоение Хопфа"
14:10 – 15:05 А. Л. Городенцев, "Группы в действии"
15:20 – 16:00 Ю. И. Зайцева, "Базисы Грёбнера"

информацию о других мероприятиях Дня математика можно найти например в канале школы https://t.me/school179moscow

к сожалению, анонсы лекций не помещаются в один пост, все разом они доступны по ссылке https://server.179.ru/wiki/?page=matematika/denmatematika

Теорема об окружностной двойственности

Есть неориентированный граф G. В нём вершины разделены на три множества: A,B и C. Мощность множества B не более 2. Внутри множеств A и B нет рёбер. В антиграфе есть ребро e, не соединяющее две вершины внутри множеств A или B.
1) Если сопоставить вершинам A точки, вершинам B — направленные прямые, а вершинам C — направленные окружности, то если окажется, что всем рёбрам G соответствуют касания & инцидентности, то и ребру e будет соответствовать касание / инцидентность.
2) Если сопоставить вершинам A направленные прямые, вершинам B — точки, а вершинам C — направленные окружности, то если окажется, что всем рёбрам G соответствуют касания & инцидентности, то и ребру e будет соответствовать касание / инцидентность.
Доказать, что если 1) верно "с вероятностью 1", то и 2) верно "с вероятностью 1"

Если не ошибаюсь, условие на мощность B можно ослабить:
нужно, чтобы в объединении G и e была вершина, смежная со всеми из B.

видео 🎥 📼 📹 https://youtu.be/6bCEp3aGr94

кто-то мог запутаться — лекция будет В ПЯТНИЦУ, а сегодня ничего нет

[7 февраля, 16:15, ауд. 302]
Пëтр Ким (лицей «Воробьёвы горы», 9 класс),
"Геометрия окружностей - 2"

Во второй части доклада будет рассказано про модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, а также про то как делать "инверсию" с цетром в прямой. Если останется время, расскажу про геометрию Галилея и её связь с принципом двойственности, анонсированном на предыдущем докладе.

в ближайшую пятницу Пётр Ким прочитает вторую часть своей лекции.

помимо видео первой части, доступен её конспект

кстати, тем, кто пережил регион и мечтает заехать в 179 (а доклада сегодня нет), рекомендую такой ивент https://t.me/school179moscow/1840

уже через две недели — в субботу 15 февраля, — в 179 школе пройдёт День математика, посвящённый Н.Н.Константинову. сейчас все кому не лень отмечают свой день математика, но мы придумали его ещё когда это не было мейнстримом.

как и в предыдущие годы, перед официальной частью пройдёт мини-конференция с лекциями для школьников. скоро будут доступны подробные аннотации, а также регистрация слушателей. информация о конференции обновляется на странице https://server.179.ru/wiki/?page=matematika/denmatematika (там собраны и материалы предыдущих лет). следите за обновлениями

видео https://www.youtube.com/watch?v=YivXenLmtPM

самое начало, с обсуждением общих определений, по техническим причинам не записалась. далее мы не спеша доказали кусочно-линейную теорему Шёнфлиса (статью, по которой я вспомнил доказательство, положу в комментариях). а потом мы спокойно вывели лемму о кусочно-линейной аппроксимации. на дикие примеры и сложные вещи, уводящие в сторону, времени особо не хватило. но основную часть мини-курса на этом можно считать завершённой.

возможно, будет продолжение про трёхмерные многообразия, ведь я разобрал только первую половину книжки Мойза. а может стоит разобраться и поговорить про срезанные узлы. в общем, как всегда, непознанного остаётся гораздо больше, чем хорошо известного.

видео https://www.youtube.com/watch?v=YivXenLmtPM

[29 января (СРЕДА), 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Триангулируемость поверхностей - 3. Кусочно-линейная аппроксимация"

В этот раз мы докажем лемму о кусочно-линейной аппроксимации. Она утверждает следующее. Пусть M — триангулированная поверхность. Тогда любое непрерывное вложение M→ℝ² можно сколь угодно точно аппроксимировать кусочно-линейным вложением.

Также мы поговорим о патологиях триангуляций в старших размерностях, где доказательство леммы уже не работает (хотя в размерности 3 сама лемма верна).

Я постараюсь сделать рассказ независимым от предыдущих двух частей, для понимания достаточно иметь (хотя бы интуитивное) представление о непрерывных отображениях.

планы на следующие две недели у нас такие.

в среду 29 января я прочитаю третью лекцию внезапного мини-курса про триангулируемость топологических поверхностей (вот первая и вторая), ожидается лемма о кусочно-линейной аппроксимации и много сопутствующих приколов.

в пятницу 31 января видимо не будет ничего — рег по математике предположительно съест часть целевой аудитории, поэтому интересный доклад ставить не хочется, а неинтересный особо и смысла нет.

зато в следующую пятницу 7 февраля Пётр Ким планирует прочитать вторую лекцию в рамках своего рассказа про окружности (её содержание было проанонсировано в конце первой, видимо).

в общем, следите за анонсами. может будет ещё что-нибудь внезапное, кто знает.... и если у вас есть какие-то замечания к этому плану, пишите